6.3.2 二项式系数的性质- 【数学一起课件】高中数学选择性必修第三册同步PPT课件（人教A版2019）

授课人：XXX 第六章 计数原理 二项式系数 的性质 Image by <a href="https://www.freepik.com/free-vector/people-connecting-puzzle-pieces_3935549.htm#query=combination&position=25&from_view=search&track=sph">Freepik</a> 学习目标 掌握展开式中二项式系数的对称性、增减性与最大值. 会用赋值法求二项式系数的和或某些项的系数的和. 1 2 学习目标 数学抽象 二项式系数的性质. 逻辑推理 运用函数的观点讨论二项式系数的单调性. 数学运算 运用二项式性质解决问题. 知识回顾 二项式定理 右边的多项式叫做的二项展开式. 各项的系数 叫做二项式系数. 式中的叫做二项展开式的通项， . 特例：若设，则得到公式： 01 二项式系数的关系 问题1 问题探究 用计算工具计算的展开式的二项式系数，并填入下表. 的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 问题探究 的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 问题探究 的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 通过计算、填表，你发现了什么规律？ 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 问题探究 的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 每一行中的系数具有对称性 除此以外还有什么规律呢？ 问题探究 为了便于发现规律，上表还可以写成如下图所示的形式. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 观察上图，你还能发现哪些规律？ 问题探究 1 2 在同一行中，每行两端的二项式系数都是1，与这两个1等距离的二项式系数相等. 在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它＂肩上＂两个数的和. 问题探究 事实上，这个表（图1）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了. 所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示，在那本书里是用汉字表示（图2），我们称这个表为杨辉三角. 图1 图2 问题探究 问题2 观察的展开式的二项式系数 我们还可以从什么角度去分析它们？ 还可以从函数的角度分析它们. 可看成以为自变量的函数，其定义域是 问题探究 问题3 假设当时，请画出函数的图象，并观察图象有何规律？ 当时，函数的图象是7个离散点，如图所示. 问题探究 问题3 假设当时，请画出函数的图象，并观察图象有何规律？ 函数图象具有对称性， 对称轴为直线 ， 函数值先增大后减小， 时取得最大值. 问题探究 问题4 请你分别画出时函数的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律？ 当时，函数的图象是8个离散点，如图所示. 问题探究 问题4 请你分别画出时函数的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律？ 当时，函数的图象是9个离散点，如图所示. 问题探究 问题4 请你分别画出时函数的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律？ 当时，函数的图象是10个离散点，如图所示. 问题探究 当时，函数图象均具有对称性，对称轴为直线 ， 函数值都是先增大后减小. 但当 时，最大值有2个. 当 时，最大值有1个. 02 二项式系数的性质 二项式系数的性质 通过前面的分析，可以得到二项式系数的以下性质. 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由 得到. 1 对称性 二项式系数的性质 通过前面的分析，可以得到二项式系数的以下性质. 直线 将函数的图象分成对称的两部分. 1 对称性 图象的对称轴：直线 . 二项式系数的性质 问题5 你能用组合的意义解释一下 这个“组合等式”吗？ 从个不同元素中取出个元素，则剩余个元素，故从个不同元素中取出个元素的组合数与取出个元素的组合数相等，即 . 二项式系数的性质 因为 即 2 增减性与最大值 当 ，即 时， 随的增加而增大； 由对称性知，当时， 随的增加而减小. 二项式系数的性质 当是偶数时，中间的一项 取得最大值； 当是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值. 二项式系数的性质 已知 令 ，得 3 各二项式系数的和 这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于. 赋值法 分析： 例题解析 例3 求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. ① 奇数项的二项式系数的和等