8.2一元线性回归模型及其应用　学案——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

沙河市实验中学高中部XX导学案 版第 册 第 课时 总 课时 制作时间： 制作人： 审核： 8.2一元线性回归模型及其应用 班级： 姓名： 学号： 1、 学习目标 1.了解随机误差、残差、残差图的概念． 2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果． 3.了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．． 二、自主学习 【自学指导】阅读课本105页--109页，思考什么是一元线性回归模型。（5分钟） 知识点一：两个变量的线性相关关系 1. 回归直线： 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。求出的回归直线方程简称回归方程。 用X表示父亲身高,Y表示儿子身高,e表示随机误差,假定随机误差e的均值为0,方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之间的关系可以表示为, (1) 我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型(simple linear regression model). 其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差,模型中的Y也是随机变量,其值虽然不能由变量x的值确定,但是却能表示为bx+a与e的和(叠加),前一部分由x所确定,后一部分是随机的,如果e=0,那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 2. 回归直线方程的求法 设与个观测点（）最接近的直线方程为，其中，是待定系数。则 ，其中，。 相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析。 3. 回归直线几条结论： （1）回归直线过样本的中心点。 （2）b>0时，y与x正相关，散点图呈上升趋势；b<0时，y与x负相关，散点图呈下降趋势。 （3）相关系数： 当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关。 r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。通常|r|大于0. 75时，认为两个变量有很强的线性相关性。 特别地：（1）只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义。否则，求出的回归直线方程毫无意义；（2）回归直线经过样本中心点。 4.决定系数R2刻画回归效果. R2越大，表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好 R2越小，表示残差平方和越大，即模型拟合效果越差. 三、合作探究 探究一 求线性回归方程 【例1】某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生 学科　　　　 A B C D E 数学成绩(x) 88 76 73 66 63 物理成绩(y) 78 65 71 64 61 (1)画出散点图； (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 【练习1】以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据： 房屋面积/m2 115 110 80 135 105 销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格． 探究二 线性回归分析 【例2】为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R2； (3)进行残差分析． 【练习2】已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏． 【练习3】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为： ξ 0 1 2 3 P 0.3