第27章 圆专项拓展训练（三） 2022-2023学年华东师大版数学九年级下册

《第27章　圆》专项拓展训练（三） 专项一 圆中常做的辅助线 类型1 连半径,构造等腰三角形 1. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=36°,以C为圆心、CA长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,则所对的圆心角的度数为(　　) A.55° B.60° C.65° D.72° 2. 如图,A为☉O上的一点,C为☉O外的一点,AC交☉O于点B,且OA=BC,∠C=20°,则∠A的度数为　　　　　 .  类型2 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 3. 如图,在☉O中,∠ABC=20°,∠DAC=24°,则∠ADO的度数为 (　　) A.43° B.44° C.45° D.46° 4. 如图,点A,B,C在☉O上,如果OD⊥BC于点D,∠BAC=60°,OD=1,那么BC的长为　　　　. 类型3 遇弦,作垂直弦的半径 5. 如图,☉O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为6,则AB的长为 (　　) A.8　 B.10 C.12　 D.16 6. 半径等于的☉O中,弦AB的长度为3,则弦AB所对的圆周角的度数为　　　　.  7. 如图,已知点O是∠EPF的平分线上的一点,∠EPF的两边PE,PF分别与☉O交于点A,B和C,D.求证:AB=CD. 类型4 遇直径,构造直径所对的圆周角 8. 如图,AB是☉O的直径,点C,D,E都在☉O上,∠1=55°,则∠2=　　　　°. 9. 如图,四边形ABCD内接于☉O,CD∥AB,且AB是☉O的直径,AE⊥CD交CD的延长线于点E.若AE=2,CD=3,求☉O的直径. 专项二 证明圆的切线的常用方法 类型1　有切点,连半径,证垂直 1.利用角度转换证垂直 1. 如图,在☉O中,AB为直径,点C,D都在☉O上,且BD平分∠ABC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E. (1)求证:DE是☉O的切线. (2)若BC=,CE=1,求☉O的直径. 2.利用全等证垂直 2. [2021四川南充一模]如图,PB切☉O于点B,连接PO并延长交☉O于点E,过点B作BA⊥PE于点D,且交☉O于点A,连接AP,AE. (1)求证:PA是☉O的切线. (2)如果AB=DE,OD=3,求☉O的半径. 3.利用勾股定理的逆定理证垂直 3. 如图,在△ABC中,以BC为直径的☉O交AB于点M,弦MN∥AC且MN交BC于点E,ME=1,BM=2,BE=. (1)求证:AC是☉O的切线. (2)求☉O的半径. 类型2　无切点,作垂直,证半径 4. 如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证:AC是☉O的切线. 参考答案 专项一 圆中常做的辅助线 1.D　【解析】　连接CD.∵∠ACB=90°,∠B=36°,∴∠A=90°-∠B=54°.∵CA=CD, ∴∠CDA=∠A=54°,∴∠ACD=180°-54°-54°=72°.故所对的圆心角为72°. 2.40°　【解析】　连接OB.∵OB=OA,OA=BC,∴∠ABO=∠A,OB=BC,∴∠BOC=∠C=20°, ∴∠ABO=40°,∴∠A=40°. 3.D　【解析】　连接OA,OC.∵∠ABC=20°,∠DAC=24°,∴∠AOC=2∠ABC=40°,∠COD =2∠CAD=48°,∴∠AOD=40°+48°=88°.∵OA=OD,∴∠ADO=∠OAD=×(180°-88°) =46°. 4.2　【解析】　连接OC,OB,∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°.∵OB=OC,∴∠OBC =∠OCB=30°.∵OD⊥BC,∴BD=CD.在Rt△BOD中,BD=OD=,∴BC=2BD=2. 5.D　【解析】　如图,连接OA,过点O作OC⊥AB于点C, 则AB=2AC.在Rt△AOC中,AC===8,则AB=2AC=16. 6.60°或120°　【解析】　如图,连接OA,OB,过点O作OF⊥AB于点F,∠ADB,∠AEB都是弦AB所对的圆周角,则AF=AB,∠AOF=∠AOB.∵AB=3,∴AF=AB=×3=, ∴sin∠AOF===,∴∠AOF=60°,∴∠AOB=2∠AOF=120°,∴∠ADB=∠AOB=×120°=60°,∴∠AEB=180°-60°=120°.故弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°. 7.　如图,过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N, 连接OA,OC,则∠OMA=∠ONC=90°. ∵点O在∠EPF的平分线上,∴OM=ON, 又∵OA=OC,∴Rt△AMO≌Rt△CNO,∴AM=CN. ∵OM⊥AB,ON⊥CD, ∴AB=2AM,CD=2CN,∴AB=CD. 8.35　【解析】　连接AD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠1=∠ADE,∴∠1+∠2 =90°.