第二十四讲 数列与等差数列-2023届高三数学一轮复习备考

第24讲 数列与等差数列 一．核心知识 核心一：等差数列的通项公式 .（关于的一次函数性质） 核心二：等差数列的前项和公式 （关于的二次函数性质，无常数项） 核心三：等差中项 若三个数成等差数列，则叫做与的等差中项，有. 核心四：等差数列的常用性质 （1）为等差数列，若，则；特别的，若，则. （2）若是等差数列，其前项和，则 ①数列，，，…是以为公差的等差数列； ②若为偶数，则；若为奇数，则(中间项)． ③ 核心五：证明等差数列的方法 ①定义法 ②等差中项法 ③通项公式法（判断） ④前项和法 核心六：等差数列的最值 ①等差数列的前项和公式写成形式(，)，用函数方法求最值. ②找正负交叉项确定最值所在项 二．重难点题型 题型一：性质应用 【例1】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【例2】已知等差数列的前项和为,且,,则的值为（ ） A． B． C． D． 【例3】等差数列的前项和当首项和公差变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是（　　） A． B． C． D． 【变式】等差数列中，，，则此数列前20项和等于（　　） A．160 B．180 C．200 D．220 【例4】等差数列，的前项和分别为，若，则 ． 【变式】设等差数列的前项和分别为，若对任意自然数都有，则的值为________． 【例5】设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________． 【变式】已知等差数列的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为（　　） A． B． C． D． 【例6】设为等差数列的前项和，若，则　63　． 【变式1】设等差数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】是等差数列的前项和，若 则（ ）. A. B. C. D. 题型二：最值问题 【例7】在等差数列中，已知，前项和为，且,当取何值时，取得最大值，并求此最大值. 【变式】已知为等差数列，，以表示的前项和，则使达到最大值的是( ). A. B. C. D. 题型三：等差数列的判断与证明 【例8】已知等差数列，，公差，若，试判断数列是否为等差数列，并证明你的结论. 【变式】已知数列,满足，，，证明为等差数列. 【例9】数列的前项和,证明：数列是等差数列. 【变式】已知等差数列的前项和为,．证明：数列为等差数列. 【例10】已知数列的前项和为，，，，其中为常数。 (Ⅰ)证明：； （Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由。 【变式】已知数列中，，其前项的和为，且满足. (Ⅰ) 求证：数列是等差数列； (Ⅱ) 求数列的通项公式. 题型四：综合 【例11】已知函数对任意都有． （1）求和的值； （2）数列满足求证：数列是等差数列. 【例12】设数列的前项和为，，。 （1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式； （2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 【例13】已知等差数列的前项和为，且 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 【例14】在等差数列中， 为前项和. （1）求使的最小正整数; （2）求的表达式 【拓展1】已知数列的前项和． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）记，若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围． 【拓展2】在数列中，，. （1）求； （2）设为的前项和，求的最小值。 【拓展3】设各项均为正数的数列的前项和为，且满足 . （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）证明：对一切正整数，有. 课后作业 1．已知等差数列的前项和为，且满足,，则使取最大值时的的值为( ) A．8 B．10 C．9或10 D．8或9 2．已知是等差数列的前项和，若，，则等于(　　) A．2013 B．-2013 C． D．4026 3．一条螺旋线用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线，然后又以为圆心，为半径画弧……，这样画到第圈，则所得螺旋线的总长度为（ ）. A． B． C． D． 4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一