贵州省安顺经济技术开发区大洋实验学校2022-2023学年高二下学期期末复习卷五（一元函数的导数及其应用）数学试题

大洋实验学校2022-2023学年度第二学期期末复习卷五 高二数学（一元函数的导数及其应用 ） 考试时间：120分钟 命题人：刘海军 2023年6月 一、单选题 1．已知函数在上有唯一零点，若，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 5．已知函数，，若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知实数x，y满足，记，则z的值可能是（    ） A．0 B． C． D．1 8．函数，下列结论正确的是（    ） A．函数有且仅有一个零点 B．是函数的极值点 C．若恒成立，则 D．若且，则 三、填空题 9．已知是函数（且）的三个零点，则的取值范围是_________． 10．设实数，若不等式恰好有三个整数解，则实数的取值范围为_________． 四、解答题 11．已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 12．已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】对函数求导得，再对k分类讨论以确定函数的单调性，函数有唯一零点的条件，转化为函数最值即可作答. 【详解】因，，则， 时，恒有，在上单调递增，，在上无零点， 时，，而在上单调递增，从而在上单调递减，在上单调递增， ， 因函数在上有唯一零点，则，即， 令，则，在单调递减，而， 于是得的零点，所以. 故选：B 2．B 【分析】观察到，构造函数进行尝试比较，可证其在是增函数，由可得， 对于，注意到，把换成，直接构造函数进行尝试比较其大小，证明其在是增函数，由可得，可得答案. 【详解】令，则， 当时，，在是增函数， 所以，所以， 即，所以， 令，则， 当时，，在是增函数， 所以，所以， 即，所以， 综上. 故选：B. 【点睛】本题属于构造函数，利用单调性比较大小问题，是近几年的高考热点，往往要求高难度大，解决问题的关键在于构造函数，平时对常见函数要熟悉，解题时细心观察题目特征，联想构造函数，利用导数判断单调性求解. 3．D 【详解】试题分析：由题意，，方程有唯一解，则函数的图象与直线有唯一交点，作出函数的图象，如图，当时，是减函数，且当时，，，在上，，直线是过点且斜率为的直线，，当，即时符合题意，即直线为位置；当时，只有直线与的图象相切，即位置合题意，此时，，设切线为，，则切线方程为，由于切线过点，则，解得（舍去），，，所以．故选D． 考点：函数与方程，函数的零点与方程的根． 【名师点睛】函数的零点就是方程的实根，即为函数与图象交点的横坐标，因此在解题时函数与方程要灵活转化．方程根的个数转化为函数图象交点个数问题后，可以通过函数图象来研究，转化时一般要转化为一个确定的函数和一条变化的直线相交，这样很容易根据变化规律得出结论． 4．D 【分析】由两边取对数可得，令则不等式可转化为，即，故根据题意可得求的最小值即可，令，通过求导可得的最小值即可 【详解】由两边取对数可得①， 令则，因为，所以， 则①可转化得， 因为， 因为存在，使得关于的不等式成立， 所以存在，成立，故求的最小值即可， 令 ， 令 ， 令， ， 所以在上单调递减，所以， ，所以在上单调递减， 所以 在上单调递减，， ，所以实数的最小值为 故选：D 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 5．D 【解析】根据条件可知：，利用导数先求解出，然后可知恒成立，由此采用分离参数并构造新函数的方法求解出的取值范围. 【详解】由题意知，对于，， 可得在上的最小值不小于在上的最大值， 由，则， 可得当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又由，，即在区间上的最大值为4， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，则， 令，则， 当时，，函数单调递减，即在上单调递减，