第26章 二次函数专项拓展训练（四） 2022-2023学年华东师大版数学九年级下册

《第26章　二次函数》专项拓展训练（四） 专项一 二次函数与其他知识的结合 类型1 二次函数与一次函数的综合 1. [2022上海徐汇中学期中]如果抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,且a≠0)与直线l都经过y轴上的同一点,且抛物线的顶点P在直线l上,那么称该直线l是抛物线L的“梦想直线”.如果直线l:y=nx+1(n是常数)是抛物线L:y=x2-2x+m(m是常数)的“梦想直线”,那么m+n的值是　　　　. 2. [2021山东临沂中考]公路上正在行驶的甲车,发现前方20 m处沿同一方向行驶的乙车后,开始减速,减速后甲车行驶的路程s(单位:m)、速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s) 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示,图象如图所示. (1)当甲车减速至9 m/s时,它行驶的路程是多少? (2)若乙车以10 m/s的速度匀速行驶,两车何时相距最近?最近距离是多少? 类型2 二次函数与几何图形的综合 3. 已知抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数),同一平面直角坐标系中有一个正方形ABCD(如图),其中A(1,1),B(2,1),C(2,2),D(1,2).当2b-c+1=0时,抛物线与正方形ABCD的边有且只有一个交点,则b的值为　　　　. 4. 二次函数y=ax2-3ax+3的图象过点A(6,0),且与y轴交于点B,点M在该抛物线的对称轴上.若△ABM是以AB为直角边的直角三角形,则点M的坐标为　　　　.  5. [2022河南许昌一模]小明在学习过程中,遇到这样一个问题:如图1,在菱形ABCD中,点M,N分别是边BC,CD的中点,点P是对角线BD上的动点,连接PM,PN,MN,当△PMN是等腰三角形时,求线段BP的长度.小明根据学习函数的经验,对此问题进行了以下探究,请补充完整. (1)对于点P在对角线BD上的不同位置,画图、测量,得到了线段BP,PM,PN的长度的几组值,如下表. ①通过观察(1)中表格,可以得到菱形ABCD的对角线BD的长为　　　cm,菱形ABCD的边长为　　　cm;  ②在BP,PM,PN的长度这三个量中,　　　　的长度是自变量,　　　　的长度和　　　　的长度都是这个自变量的函数.  (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出(1)②中确定的函数图象. (3)结合函数图象,当△PMN是等腰三角形时,求线段BP的长度.(结果保留一位小数) 类型3 二次函数与动点问题的综合 6. 如图,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-2,0)和B(4,0)两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线对应的函数表达式; (2)若点P为直线BC下方抛物线上一动点(不与点B,C重合),PM⊥BC于点M,PD⊥AB于点D,交直线BC于点N,则当PM+PN的值最大时,求点P的坐标; (3)点P在第四象限的抛物线上移动,以PC为边作正方形CPEF,当抛物线的对称轴经过点E时,求出此时点P的坐标. 7. 综合与探究 如图,抛物线y=x2+2x-6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC. (1)求A,B,C三点的坐标,并直接写出直线AC,BC的函数表达式. (2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点,过点P作BC的平行线l,交线段AC于点D. ①试探究:在直线l上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M,与直线AC交于点N.当S△DMN=S△AOC时,请直接写出DM的长. 专项二 生活中的抛物线模型问题 1. 如图是一款抛物线形落地灯筒示意图,防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面1.5 m,最高点C距灯柱AB的水平距离为1.6 m,灯柱AB高1.5 m.若茶几摆放在灯罩D的正下方,则茶几到灯柱AB的距离AE为 (　　) A.3.2 m B.0.32 m C.2.5 m D.1.6 m 2. [2021湖北襄阳中考]从喷水池喷头喷出的水珠,在空中形成一条抛物线,如图所示,在抛物线各个位置上,水珠的竖直高度y(单位:m)与它距离喷头的水平距离x(单位:m)之间满足函数关系式y=-2x2+4x+1,则喷出水珠的最大高度是　　　　m.  3. 为构建“魅力雨花,和谐雨花,人文雨花”,规划在圭塘河上修建一座观光人行桥(如图1),此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成,桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形,观光人行桥的示意图如图2所示,已知桥面上三组拱桥都为相同的抛物线y=-(x-k)2+t的一部分,拱高(抛物线最高点到桥面的距离)为16米,三条抛物线依次与桥面AB相交于点A,C,D,B,则桥长AB为　　　　　米.  4. 图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面