圆锥曲线中的证明问题 讲义-2023届高三数学二轮专题复习备考

圆锥曲线中的证明问题 一、考情分析 圆锥曲线中的证明问题在高考时有出现, 主要有两大类：一是证明点线位置关系, 如直线或曲线过某个 点、直线平行与垂直、直线对称等问题, 二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系, 如相等与不相等. 二、解题秘籍 (一) 证明直线或圆过定点 证明直线过定点, 通常是设出直线方程 y = kx + m, 由已知条件确定 k,m 的关系. 若 m = ak + b, 则 y = kx + m = k x+ a + b, 则直线过定点 -a,b , 证明圆过定点, 常见题型是证明以 AB 为直径的圆过定点 P, 只需证明PA ⊥ PB. 【例1】(2023 届重庆市南开中学校高三上学期质量检测) 已知椭圆 C： + = 1a > b> 0 的离心率为 ( 2 , ) 3 椭圆的上顶点B 到两焦点的距离之和为 4． (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 若直线 l：y = kx + m 与椭圆 C 交于异于点B 的两点P,Q, 直线BP,BQ 与 x 轴相交于MxM ,0 , N xN ,0 , 若 + = 1, 求证：直线 l 过一定点, 并求出定点坐标． 【例2】(2023 届福建省福州华侨中学高三上学期第二次考试) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 F(2,0), 直线 l:x = , 点M 到 l 的距离为 d, 若点M满足 |MF | = 2d, 记M 的轨迹为 C． (1) 求 C 的方程； (2) 过点F(2,0) 且斜率不为 0 的直线与 C 交于P,Q 两点, 设A(-1,0), 证明：以P,Q 为直径的圆经过点A． (二) 证明与斜率有关的定值问题| 证明与斜率有关的定值问题通常是证明斜率之和或斜率之积为定值问题,此类问题通常是把斜率之和或 斜率之积用点的坐标表示,再通过化简使结果为定值,此外证明垂直问题可转化为斜率之积为 -1,证明 两直线关于直线 x =t 或y =t 对称,可转化为证明斜率之和为 0. 【例3】(2023 届河南省安阳市高三上学期 10 月月考) 已知椭圆 M1 : + =1a >b>0 的左、右焦点分别 为F1 ,F2 ,|F1F2 =2,面积为 的正方形ABCD 的顶点都在M1 上. (1)求M1 的方程； (2)已知P 为椭圆M2 : + =1 上一点,过点P 作M1 的两条切线 l1 和 l2 ,若 l1 ,l2 的斜率分别为 k1 ,k2 , 求证：k1k2 为定值. 【例4】(2023 届天津市第四十七中学高三上学期测试) 已知椭圆 C： + =1a >b>0 的右焦点和上顶 点均在直线 x +y - 3 =0 上. (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点A 2,1 ,若过点B 3,0 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点M,N. 直线AM和直线AN 的斜率 分别为 k1 和 k2 ,求证：k1 +k2 为定值. ( 【例 6 】 已知双曲线 C : = 1 ( a > 0 , b > 0 ) 的离心率是 5 , 点 F 是双曲线 C 的一个焦点 , 且点 F 到双曲 线 C 的一条渐近线的距离是 2. ( 1 ) 求双曲线 C 的标准方程 . ( 2 ) 设点 M 在直线 x = 1 4 上 , 过点 M 作两条直 线 l 1 , l 2 , 直线 l 1 与双曲线 C 交于 A , B 两点 , 直线 l 2 与双曲线 | MA | ME | MD | MB . ) ( C 交于 D , E 两点 . 若直线 AB 与直线 DE 的倾斜角互补 , 证明： = )(三) 证明与线段长度有关的等式| | | | 证明与线段长度有关的等式问题, 一般是利用距离公式或弦长公式写出长度表达式, 再借助根与系数之 间的关系或斜率、截距等证明等式两边相等. 【例5】(2023 届江苏省高三上学期起航调研) 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 C:y2 = 2x ． A1 ,A2 为 C 上两 点, 且A1 ,A2 分别在第一、四象限．直线A1A2 与 x 正半轴交于A3 , 与y 负半轴交于A4． (1) 若 ∠A1OA2 > 90°, 求A3 横坐标的取值范围； (2) 记 △A1OA2 的重心为 G, 直线A1A2 ,A3 G 的斜率分别为 k1 ,k2 , 且 k2 = 2k1 ．若 |A1A2 | = λ|A3A4 |, 证明：λ 为定值． (四