2023年九年级冲刺中考数学二次函数压轴题：综合问题

综合问题 1．如图，已知二次函数（其中a、m为常数，，），它的图像交x轴于点A，B（点A在B的左侧），交y轴于点，直线交二次函数图像的对称轴于点E．    (1)用含m的代数式表示a以及点A，B的坐标； (2)如图1，若二次函数图像的顶点是D，直线交于F，求m取何值时； (3)如图2，直接写出△BCE为锐角三角形时m的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点在该抛物线上．    (1)如图，点B的坐标为 ①求点A的坐标和n的值； ②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点，如果四边形为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式； (2)直线与y轴相交于点E，如果且点B在线段上，求m的值． 3．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接，．    (1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标． (2)当时，求点M的横坐标． (3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在，点B的左侧），已知点B的横坐标是1，抛物线L的顶点为D，点P从原点开始沿x轴正半轴运动，将抛物线L绕点P旋转后得到抛物线，顶点E的横坐标为h．    (1)求a的值及顶点D的坐标； (2)当点P与点B重合时，求抛物线的解析式： (3)如图2，明明设计小游戏：有一等边三角形（与x轴平行），边长为5，顶点M的坐标为，当抛物线与有公共点时（含边界），会变色，此时抛物线被称为“美好曲线”，请直接写出抛物线为“美好曲线”时，点E横坐标h的取值范围． 5．某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的抛物线．    (1)若输入，，得到如图1所示的抛物线．求顶点的坐标及抛物线与轴的交点A，B的坐标； (2)已知点，． ①若输入b，c的值后，得到如图2的抛物线恰好经过P，Q两点，求出b，c的值； ②淇淇输入b，嘉嘉输入，若得到拋物线与线段有公共点，直接写出淇淇输入b的范围． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C，顶点为D．抛物线对称轴与x轴交于点F，E是对称轴上的一个动点． (1)若，求的值； (2)若，求点E的坐标； (3)当取得最小值时，连接并延长交抛物线于点M，请直接写出的长度． 7．综合与探究． 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线，交轴于点．若点是二次函数图象上一动点，且点始终位于轴上方，作直线，，分别交于点，，在点的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 8．如图，已知抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点A． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)将该抛物线向右平移m个单位，点C移到点D，点A移到点E，若，求m的值； (3)在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为G，新抛物线在对称轴右侧的部分与x轴交于点F， 求点C到直线的距离． 9．如图1，抛物线经过， 且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接，直线l过点B、C． (1)填空：_____ ； 直线l的函数表达式为：______________ ． (2)已知直线平行于y轴，交抛物线及x轴于点P、G．当时（如图2），直线与线段分别相交于E、F两点，试证明线段总能组成等腰三角形． (3)在（2）的条件下，如果此等腰三角形的顶角是的2倍，请求出此时t的值． 10．如图，抛物线与轴交于点，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线的顶点，直线与抛物线交于，两点，求证：△ABD的外心恒在直线上； (3)在(2)的条件下，设的外心为．通过对“”取特值探究，当直线运动时，发现点恒在一条确定的曲线上运动，请直接写出曲线的解析式为___________． 11．如图，抛物线交x轴于，两点，交轴于，点为抛物线上一个动点，直线经过，两点．       (1)求抛物线的解析式． (2)若点在第一象限抛物线上，且横坐标为． ①直接写出不等式的解集； ②若点为下方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，求的最大值． (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当点在第四象限时，如图，若线段、、围成的区域（不含边