2023年九年级冲刺中考数学二次函数压轴题：相似三角形问题

相似三角形问题 1．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．    (1)求抛物线与直线的函数表达式． (2)设是拋物线上的一个动点（不与，重合），过点作轴，垂足为，交直线于点，当时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线的对称轴是直线且经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． (1)①直接写出点A的坐标；②求抛物线解析式． (2)如图2，若点P为直线下方的抛物线上的一点，连接．求△PBC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M，过点M作垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知过坐标原点的抛物线经过两点，且是方程两根（），抛物线顶点为C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、点，与y轴交于点，连接AC，BC．点E是线段OB上动点（不与O、B两点重合），过点E作x轴的垂线l，设直线l与BC交于点D，与抛物线交于点P． (1)求抛物线的表达式； (2)连接AP，当△PEA和△AOC相似时，求点P的坐标； (3)过点Р作，垂足为F，求面积的最大值 6．如图1，直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为． (1)求a，b的值． (2)将点A绕点C逆时针旋转得到点D． ①判断点D是否在抛物线上，并说明理由． ②如图2，将直线向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段上．若△GEF∽△DBA，求出点G的坐标． 7．如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请求出所有满足条件的点P和点D的坐标． 8．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于B，抛物线经过A，B两点，与x轴负半轴交于点C，连接，抛物线对称轴与x轴交于点F，P为y轴右侧抛物线上的动点，直线交对称轴于点D．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)作，垂足为Q，当△BPQ与△BCO相似时，直接写出点Q的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和与x轴交于点A，C两点（A在C左侧），与y轴交于点B． (1)求抛物线M的解析式及A，C两点的坐标； (2)将抛物线M平移后得到抛物线，已知抛物线的对称轴为直线，直线交x轴于点N，点P为抛物线的顶点，在x轴下方是否存在点P，使得与△AOB相似？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 10．如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，长为1的线段（点位于点的上方）在轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)求的最小值； (3)过点作轴于点，当和△QBN相似时，求点的坐标． 11．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点G，抛物线的对称轴为直线，交x轴于点E，交抛物线于点F，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点D，问当动点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时P点的坐标． (3)坐标轴上是否存在点G，使得以A，C，G为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0）两点． (1)求出抛物线的解析式； (2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若抛物线上有一点Q（点Q不与点B重合），使得点Q