07 导数综合-零点个数与虚设零点问题-专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习

目录 一 零点问题 1 题型一:求零点&讨论零点个数 2 题型二:只有唯一一个零点，证明&求参数范围 4 题型三:两个零点的证明或求参数范围 5 二 虚设零点问题 6 题型一：设是导函数零点 6 巩固练习 9 一 零点问题 方法总结 【零点概念】对于函数，把使成立的实数叫做函数，的零点. 【零点意义】函数的零点就是方程的实数根.亦是函数的图像与轴的交点的横坐标. 函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点 利用导数研究函数的零点问题基本方法 高考题中对导数的考查经常会出现一类对高次函数或混合函数研究零点个数，或者通过函数的零点个数求参数的取值范围的题目，解决这类问题通常需分三步走： ①对函数求导； ②研究函数的单调性并求极值； ③结合函数的单调性与极值画函数的草图，由草图研究函数的零点问题． 题型一:求零点&讨论零点个数 1.已知函数,其中. （Ⅰ）求函数的零点个数; 2.已知在处的切线方程为 （Ⅱ）设求零点的个数; 3.已知函数,. （Ⅱ）当时,讨论的零点个数. 4.已知函数. （Ⅱ）当时,讨论函数的零点个数. 题型二:只有唯一一个零点，证明&求参数范围 1.方法清单 证明函数在区间上存在唯一一个零点，先研究函数单调性: （I） 函数在区间上具有严格的单调性，即，根据零点存在定理证明其中. 函数在区间上寄存在单调递增区间也存在单调递减区间，则讨论函数的最值与0的关系. 2.题型练习 1.已知函数,函数,其中. （Ⅱ）如果曲线与有且仅有一个公共点,求的取值范围. 2.已知函数,,. （Ⅰ）当时,求的单调区间; （Ⅱ）求证:有且仅有一个零点. 题型三:两个零点的证明或求参数范围 1.设函数. （Ⅱ）若函数在区间内有两个零点,求实数的取值范围. 2.已知函数. （Ⅱ）若函数在区间有两个的零点,求实数a的取值范围. 二、虚设零点 题型一：设是导函数零点 1.方法清单 导函数的零点是划分单调区间的边界. 当明确存在零点但是零点不易求出具体值时，通常设是零点，通过引入的，我们可据此划分单调区间，对解题带来帮助. （由于我们设的零点是用来分析函数单调区间的，故不必求出其具体数值，因此称虚设零点，舍而不求） 2.题型练习 1.已知函数. （Ⅱ）证明:对于,在区间上有极小值,且极小值大于0 2.已知函数,. （Ⅱ）证明:当时,函数存在唯一的极小值点为,且. 3.已知函数. （Ⅱ）当时,若函数的最大值为,求的值. 4.已知函数,其中. （Ⅱ）当时,证明:存在最小值. 5.已知函数. （Ⅱ）若,求证:. 6.已知函数. （Ⅱ）若恒成立,求的取值范围 （Ⅲ）求证:当时,曲线总在曲线的上方. 7.已知函数,. （Ⅱ）当时,讨论的零点个数. 巩固练习 【已知切线方程求参+利用二次求导确定函数单调性】 1.设函数，曲线在点处的切线方程为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的单调区间． 【切线方程+利用二次求导求函数最值】 1.已知函数f（x）=excosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 【切线方程+已知极值点求参数】 1.设函数. （Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴平行,求; （Ⅱ）若在处取得极小值,求的取值范围. 【求切线方程+构造函数证明不等式问题】 1.已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值． 【利用导函数确定函数单调性、构造函数+虚设零点证明不等式】 1.已知函数， （1） 求证：； （2） 若在上恒成立，求的最大值与的最小值. 【二次求导+函数有唯一零点求参数范围】 1.已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求 【单调性+已知函数有两个零点求参数范围】 1.已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 【利用导函数与函数单调性关系求解决双零点问题】 1.已知函数有两个零点. （Ⅰ）求的取值范围; （Ⅱ）设,是的两个零点,证明：. 【证明函数的单调性+不等式恒成立问题求参】 1.设函数． (Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增； （Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围． 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 一 零点问题 1 题型一:求零点&讨论零点个数 1 题型二:只有唯一一个零点，