06 导数综合-最值问题与不等式恒成立问题-专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习

目录 一 最值问题 2 题型一:通过（求导）单调性求函数最值 2 题型二:构造新函数求函数最值 4 题型三:已知函数最值，求参 4 二 不等式恒（存在性）成立问题 6 题型一: 恒成立问题 6 题型二: 存在性成立问题 7 题型三: 不等式问题——构造函数 9 题型四: 含参不等式处理——分类讨论 11 题型五: 含参不等式处理——分离变量 13 一 最值问题 方法总结 函数的最大值与最小值 一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f（x）必有最大值与最小值．在开区间（a，b）内的连续函数f（x）不一定有最大值与最小值． 温馨提示： 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值， 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得：有极值的未必有最值，有最值的未必有极值：极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则它就是函数的最值． 题型一:通过（求导）单调性求函数最值 1.方法清单 求函数的最大值与最小值的方法 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在 [a，b]上的最大值的步骤如下： （1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个最大值，最小的一个是最小值． 2.题型练习 1.已知函数,. （Ⅰ）求函数的最小值; 2.已知,曲线在处的切线方程为. （Ⅱ）求在上的最大值; 3.设函数. （Ⅰ）当时,求函数在区间内的最大值; 4.设函数,(为常数),.曲线在点处的切线与轴平行. （Ⅱ）求的单调区间和最小值; 题型二:构造新函数求函数最值 1.已知函数,曲线在处的切线经过点. （Ⅱ）设,求在区间上的最大值和最小值. 题型三:已知函数最值，求参 1.方法清单 函数在上存在最值的实质，即导函数在上存在变号零点.常采用虚设零点法. 函数在上存在最大值在上单调递增且在上单调递减时且时 函数在上存在最小值在上单调递减且在上单调递增时且时 2.题型练习 1.已知函数. （Ⅱ）当时,若函数的最大值为,求的值. 2.已知函数,其中. （Ⅱ）当时,证明:存在最小值. 二 不等式——恒（存在性）成立问题 题型一: 恒成立问题 都有 （）成立时 （）； 都有 （ ）成立时 （） 1.题型练习 1.已知函数. （Ⅱ）若恒成立,求的取值范围 2.设函数, （Ⅱ）当时,恒成立,求的取值范围. 题型二: 存在性成立问题 1.方法清单 都有 （）成立时 （）； 都有 （ ）成立时 （）. 2.题型练习 1.设,函数. （Ⅱ）若对于定义域内的任意,总存在使得,求a的取值范围. 题型三: 不等式问题——构造函数 1.方法清单 构造函数解决恒成立问题 证明形如f（a）+g（a）≥f（b）+g（b）型问题 通常将f（a）+g（a）≥f（b）+g（b）进行等价变换，根据不等式左右两边的结构特点，构造新函数h（x）=f（x）+g（x）． 2.题型练习 1.已知函数. （Ⅲ）若在区间上恒成立,求的最小值 2.已知 （Ⅱ）当时,求证:对于恒成立; 3.已知函数,. （Ⅲ）若恒成立,求的最大值. 4.已知函数. （Ⅲ）求证:当时,曲线总在曲线的上方. 题型四: 含参不等式处理——分类讨论 1.已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间; （Ⅱ）当时,都有成立,求的取值范围; 2.已知函数,其中. （Ⅱ）若不等式在定义域内恒成立,求实数的取值范围. 题型五: 含参不等式处理——分离变量 1.已知函数,其中实数. （Ⅱ）若在区间