2023年中考数学考点集训：等腰三角形的性质和判定

等腰三角形的性质和判定 — 考点集训 — 1、如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？ （2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？ （3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． （4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？ 2、如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3、如图，中，以AB为直径作，交BC边于点D．交CA的延长线于点E，连接AD，DE． (1)求证：； (2)若，求DE的长． 4、如图1，是手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中长为，长为，，． (1)点D到的距离为_____； (2)求点D到的距离． 5、（1）如图 1，O 是等边三角形 ABC 内一点，连接 OA，OB，OC，且 OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，连接 OD． 填空：①旋转角为 °；②线段 OD 的长是 ；③∠BDC= °； （2）如图 2，O 是△ABC 内一点，且∠ABC＝90°，BA=BC． 连接 OA，OB，OC，将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，连接 OD．当 OA，OB，OC 满足什么条件时，∠BDC＝135°？请说明理由． 6、综合与探究 如图，已知抛物线与x轴相交于点A，B（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C，其顶点为点D，连接AC，BC． （1）求点A，B，D的坐标； （2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F．若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标； （3）设点M是线段BC上的一个动点，过点M作，交AC于点N．点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（）秒，直接写出当t为何值时，为等腰直角三角形． 7、抛物线y＝ax2+bx+3过点A(﹣1，0)，点B(3，0)，顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围． 8、如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，交y轴于点C．已知A（﹣3，0），C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式，直接写出顶点D的坐标． （2）P是抛物线上的一动点，当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为 ． 9、如图，是直径，点是上一点，，点为延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)过点作交于点，的延长线交于点，若的直径为2，求线段的长． 10、如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． (1)求，两点的坐标． (2)求该二次函数的解析式． (3)若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 11、已知，如图四边形为正方形，点的坐标为，动点沿着折线的方向以1个单位每秒的速度匀速运动，同时点沿着折线的方向匀速运动，速度是2个单位长度每秒，运动时间为秒，当他们相遇时同时停止运动． （1）点的坐标是 正方形的面积是 ． （2）将正方形绕点顺时针旋转，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积． （3）运动时间为多少秒时，以四点为顶点的四边形为平行四边形? （4）是否存在这样的值，使成为等腰三角形?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 12、如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求PQ的长； (2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的运动