2023年九年级数学中考专练-四点共圆

四点共圆 一．选择题（共3小题） 1． 如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，△ADC沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△A′DC，AA′与CD交于点E．若 ， ，则点A′到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 2． 如图，AB=AD=6，∠A=60°，点C在∠DAB内部且∠C=120°，则CB+CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 3． 如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．连接EF交线段CD于点O，若CO=2 ，CD=3 ，则EO•FO的值为（　　） A．6 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共6小题） 4． 如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°．以AD为弦的圆分别交AB、AC于E、F两点．点G在AC边上，且满足∠EDG=120°．若CD=4+2 ，则△DEG的面积的最小值是 ________ ． 5． 如图，AB⊥BC，AB=5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D=90°，连接AD，则AD的最小值为 ________ ． 6． 如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（5，3），点P是第一象限内一动点，且∠APB=135°，则4PD+2PC的最小值为 ________ ． 7． 如图，BD为边长为a的菱形ABCD的对角线，∠BAD=60°，点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB，BD向终点B和D运动，连接DM和AN，DM和AN相交于点P，连接BP，则BP的最小值为 ________ ． 8． 如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，连接AC，BD，过点B作BE⊥AC，垂足为E，若∠BDC+∠DAB=90°，BE=4，CD=6，则BC= ________ ． 9． 如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM=1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论： ①HD=2BG；②∠GCH=45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2- ． 其中正确的结论有 ________ （填写所有正确结论的序号）． 三．解答题（共11小题） 10． 综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D=180°（依据1） ∵∠B=∠D ∴∠AEC+∠B=180° ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1： ________ ；依据2： ________ ． （2）如图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，则∠4的度数为 ________ ． 拓展探究： （3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE． ①求证：A，D，B，E四点共圆； ②若AB=2 ，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 11． 问题提出 （1）如图1，正方形ABCD，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，有∠FOD=90°，则 = ________ ； （2）如图2，平行四边形ABCD，AB= ，BC= ，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，当∠FOD=∠B时，你能求出 的比值吗？请写出求比值的过程； 问题解决 （3）如图3，四边形ABCD，AB=113，∠B=∠ADC=120°，BC=45， ，点E在边AB上，连接AC与DE交于点O，当∠COD=∠B时，求 的值． 12． 【问题情境】如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点共