5.3.1函数的单调性课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1　函数的单调性 第五章 一元函数的导数及其应用 问题引入 如果函数在区间上是增函数，那么对于任意的，当时， ，即与同号，从而有>0，即.这表明，函数的平均变化率与其单调性密切相关.进一步猜想，函数的瞬时变化率（即导数）与其单调性也密切相关！ 在必修第一册中，我们通过图像直观，利用 不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、 周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质. 在本章前两节中我们学习了导数的概念和运 算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用 导数更加精确地研究函数的性质呢？ 本节我们就来讨论这个问题. 新知探索 导数与函数的单调性 问题 导数与函数的单调性有什么联系？ y x y=x O （1） （2） y x O y=x2 （4） x y O y= 1 x x y O y=x3 （3） 函数在R上 （-∞，0） （0，+∞） 函数在R上 （-∞，0） （0，+∞） 新知探索 导数与函数的单调性 问题 如何从函数导数的 几何意义理解函数的单调性 与导数的正负之间的关系？ 导数值 切线的斜率 倾斜角 曲线的变化趋势 函数的单调性 f′(x)>0 k____ 角 _____ _____ f′(x)<0 k____ 角 _____ _____ >0 <0 锐 钝 上升 下降 递增 递减 新知探索 导数与函数的单调性 梳理　一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 ； (2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 . 单调递增 单调递减 注意点：(1)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数； (2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)的变化． 典例精析 题型一：函数图象与导数图象的关系 例1　已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( ) 解　当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数； 当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数.故选C. √ 典例精析 题型一：函数图象与导数图象的关系 反思与感悟 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． 典例精析 题型二：利用导数求函数的单调区间 例2　求下列函数的单调区间. 典例精析 题型二：利用导数求函数的单调区间 例2　求下列函数的单调区间. (2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 典例精析 题型二：利用导数求函数的单调区间 反思与感悟 (1)利用导数求函数f(x)的单调区间，可以利用判断函数单调性的步骤来求，也可以转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0来求． (2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开，不能写成并集的形式． (3)要特别注意函数的定义域． 典例精析 题型三：含参数的单调性问题 例3　求f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的单调区间． 解　 f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的定义域为R， f′(x)＝3a2x2＋2ax－1＝(3ax－1)(ax＋1)． (1)当a＝0时，f′(x)＝－1<0⇒f(x)在R上是减函数， f(x)的减区间为R，无增区间． (2)当a≠0时3a2>0时，f′(x)是开口向上的二次函数， 令f′(x)＝0得x1＝，x2＝－ (a≠0)，因此可知(结合f′(x)的图象)， 典例精析 题型三：含参数的单调性问题 例3　求f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的单调区间． ①当a>0时，x1>x2，f′(x)>0⇔x<－ 或x> ；f′(x)<0⇔－ <x< . 此时，f(x)的增区间为和；f(x)的减区间为. ②当a<0时，x1<x2，f′(x)>0⇔x< 或x>－ ；f′(x)<0⇔ <x<－ . 此时，f(x)的增区间为和；f(x)的减区间为. 典例精析 题型三：含参数的单调性问题 反思与感悟 (1)若导函数的二次项系数含参： ①优先讨论是否为0，达到降次的目的，②当不为0时，再从符号上入手，③确定二次函数的开口方向，由判别式确定其根的情况，若有根，然后通过因式分解或求根公式求导函数大于0或小于0的解，若无根，则导函