2023届上海市复旦大学附属中学高三毕业考试数学试题

复旦附中2023届高三年级毕业考试数学试卷2023. 05.30 一、填空题 1. 已知集合中的最大元素为2, 则实数________. 2. 函数的严格减区间为________. 3. 若函数为偶函数, 且当时，, 则________. 4. 若某圆锥高为3 , 其侧面积与底面积之比为, 则该圆锥的体积为________. 5. 已知样本数据 2、4、8、的极差为 10 , 其中, 则该组数据的方差为________. 6. 在财务审计中, 我们可以用 “本・福特定律” 来检验数据是否造假. 本・福特定律指出, 在一组没有人为编造的自然生成的数据 (均为正实数) 中, 首位非零的数字是这九个事件不是等可能的. 具体来说, 随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字, 则 . 则根据本 • 福特定律, 首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为________ (保留至整数). 7. 若, 则 ________. 8. 若向量与不共线也不垂直, 且, 则向量夹角________. 9. 已知复数在复平面内对应的点是, 其共轭复数在复平面内对应的点是是坐标原点, 若在第一象限, 且, 则________. 10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为、的渐近线与圆 在第一象限的交点为, 线段与交于点为坐标原点. 若 , 则的离心率为________. 11. 若项数为10的数列, 满足 , 且, 则数列中最大项的最大值为________. 12. 若实数使得存在两两不同的实数, 有, 则实数的取值范围是________. 二、选择题 13. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题: “今有善走男, 日增等里, 首日行走一百里, 九日共行一千二百六十里, 问日增几何?", 该问题中, “善走男” 第5日所走的路程里数为 （ ） (A)110 （B）120 (C)130 (D) 140 14. “表示焦点在轴上的椭圆” 的一个充分非必要条件是 （ ） (A) (B) (C) (D) 15. 若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”, 已知长方体 ，下列四组量中, 一定能成为该长方体的 “基本量” 的是（ ） （A）、、的长度 （B）、、的长度 （C）、、的长度（D）、、的长度 16. 设关于、的表达式, 当、取遍所有实数时, （ ） （A）既有最大值, 也有最小值 （B）有最大值，无最小值 （C）无最大值，有最小值 （D）既无最大值, 也无最小值 三、解答题 17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 在平面直角坐标系中，在以原点为圆心半径等1的圆上，将射线绕原点逆时针方向旋转后交该圆于点，设点的横坐标为，纵坐标. (1)如果，，求的值（用表示）； (2)如果，求的值. 18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB． (1)求证：平面AMB//平面DNC；(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC． 19． （本小题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分， 第3小题满分4分. 某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 12.5 222 3.5 157.5 16800 4.5 1254 270 表中，. (1)根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 20．（本小题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分. 贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论． 如图所示，抛物线，其中为一给定的实数.． （1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程； （2）若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值； （3