考点28 与球有关的切接问题7种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第二册)

考点28 与球有关的切、接问题7种常见考法归类 1、一个几何体的所有顶点在球上，此球即为外接球。空间中如果一个定点与一个多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该多面体的外接球的球心. 解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 2、内切球也即球在几何体内部，与其所有侧面均相切，这种球的半径往往用体积公式来确定，类似于求三角形内接圆的半径问题。这类问题变化不多，在考试中出现频率不高。3、正方形、矩形的中心为到各个顶点的距离都相等 正方体的中心为到每条棱的中点的距离都相等 4、正方体、长方体外接球 ①正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． ②长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 5、正方体的外接球、内切球、棱切球模型外接球 6、长方体的外接球模型 长方体必有外接球，不一定存在内切球（只有为正方体时才有）. 设长方体的棱长为其体对角线为， 则 ，外接球的半径 7、可补形成长方体计算的外接球模型 （1）墙角模型（三条侧棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 （2） 三棱锥的三个侧面两两互相垂直 （3）侧棱垂直底面且底面有直角的三棱锥 （4）四个面都是直角三角形的三棱锥——鱉臑 （5）对棱相等模型 三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，， ，， 列方程组，， 第三步：根据墙角模型，，，，求出. 补充：. （6）正四面体的外接球 正四面体棱长为，则外接球半径为，内切球半径为 注：①将正四面体补形为正方体，正四面体棱长为，则正方形的边长，所以 ②连接内切球球心与各顶点，把三棱锥分成四个小棱锥，由等体积法得 ③注意到正四面体外接球和内切球球心相同，则有 8、圆柱系（“汉堡”模型） （1）圆柱的外接球模型 圆柱的外接球外接球半径 （2）可补形成圆柱计算的外接球模型 模型一 直棱柱的外接球模型 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 模型二 侧棱垂直于底面的三棱锥外接球模型（垂面模型：一条直线垂直于一个平面） 如图，平面，求外接球半径. 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 9、圆锥系 （1）圆锥的外接球模型 圆锥的外接球半径满足方程 （2）可补形成圆锥计算的外接球模型 模型一 顶点的投影落在底面三角形的外心 如图这七个图形，的射影是的外心三棱锥的 三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的 顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 模型二 球心在过截面圆圆心的垂线上 10、外心定球心法求半径 （一）共斜边的直角三角型模型 两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 如图，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值. （2） 面面垂直模型（“切瓜”模型） 有两个平面互相垂直的棱锥 推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心、过两个外心做两个垂面的垂线， 两条垂线的交点即为球心0，取B C的中点为， 连接、、、为矩形 由勾股可得 公式： （三）所有二面角构成的棱锥，普通三棱锥 方法：找两面外接圆圆心到交线的距离，找二面角，找面面交线长度