第十章 第六节 几个常用的分布（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．两点分布 (1)如果随机变量X只取值0或1，且其概率分布是P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p，p∈(0，1)，则称随机变量X服从两点分布，记作X～B(1，p). (2)两点分布又称0­1分布，当只考虑成功与否时，都可以用服从两点分布的随机变量来描述：X＝ (3)两点分布的均值与方差：若X～B(1，p)，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). 2．二项分布 (1)伯努利试验：一般地，在相同条件下进行n次重复试验，如果每次试验只有两种可能的结果A与，并且P(A)保持不变，各次试验的结果相互独立，那么称这样的试验为伯努利试验．它是一种n次独立重复试验． (2)二项分布的定义：一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A出现的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则X有概率分布： P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，2，…，n，其中q＝1－p. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．其中n，p为参数，p为事件发生的概率． (3)二项分布的均值与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 3．超几何分布 (1)定义：一般地，若N件产品中有M件次品，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，l.其中l＝min{M，n}，且M≤N，n≤N－M，n，M，N∈N＋.称分布列 X 0 1 … l P … 为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n). (2)均值：E(X)＝. 4．正态分布 (1)有关概念：如图，曲线呈现“中间高，两边低，左右大致对称”的特点，我们把具有这种特性的曲线叫作正态分布密度曲线，简称正态曲线，它的函数表达式为 p(x)＝e－(－∞<x<＋∞)，其中μ，σ为参数，且σ>0，μ∈R.p(x)称为概率密度函数．此时，我们称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2). 其中E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 特别地，数学期望μ＝0，方差σ2＝1时的正态分布称为标准正态分布，其密度函数记为φ(x)＝e－(－∞<x<＋∞)，如图所示，随机变量X服从标准正态分布，简记为X～N(0，1). (2)不同的μ，σ对应着不同的正态分布密度曲线，如图： (3)正态分布密度曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交． ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． ③p(x)在x＝μ处达到最大值. ④当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． ⑤σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡； ⑥曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1. (4)3σ原则 若X～N(μ，σ2)，则随机变量X在μ的附近取值的概率较大，在离μ较远处取值的概率较小． 具体地，随机变量X取值 落在区间(μ－σ，μ＋σ)内的概率约为68.27%， 落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内的概率约为95.45%， 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率约为99.73%， 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并称之为3σ原则． 结论拓展 1．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： (1)是否为n次独立重复试验． (2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2．关于超几何分布 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征： ①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布． (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 3．对于X～N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)； (3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a). 夯基固本 1．判断正误 (1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　√　　) (2)二项分布和超几何分布都是放回抽样．(　　×　　) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(　　√　　) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(　　√　　) 2．设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y＝则P(Y＝0)为(　　) A．0　　　　B．　　　　C．