第十章 专题五 概率统计与其他知识的综合问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

专题五　概率统计与其他知识的综合问题 探究1　概率统计与数列的交汇 为迎接2023年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立．若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜．甲答对每个问题的概率为，答错的概率为. (1)若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X，求X的分布列及数学期望； (2)若甲在回答过程中出现在第i(i≥2)个等级的概率为Pi，证明：{Pi－Pi－1}为等比数列． 解：(1)依题意可得，X＝5，6，7，8，9，10， P(X＝5)＝C＝＝，P(X＝6)＝C· ＝5××＝， P(X＝7)＝C＝，P(X＝8)＝C·＝， P(X＝9)＝C×＝，P(X＝10)＝C＝， 所以X的分布列为 X 5 6 7 8 9 10 P E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＝. (2)处于第i＋1个等级有两种情况： 由第i等级到第i＋1等级，其概率为Pi； 由第i－1等级到第i＋1等级，其概率为Pi－1； 所以Pi＋1＝Pi＋Pi－1，所以Pi＋1－Pi＝－(Pi－Pi－1)， 即＝－.所以数列{Pi－Pi－1}为等比数列． 　(多选)(2023·福建三明一中模拟)已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第k＋1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n次取出的球是红球的概率为Pn，则下列说法正确的是(　　) A．P2＝ B．3Pn＋1＋pn＝1 C．第5次取出的球是红球的概率为 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是 AC　解析：依题意P1＝＝， 设第n次取出球是红球的概率为Pn，则白球概率为(1－Pn)， 对于第n＋1次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出的概率为Pn·，②从白箱取出的概率为(1－Pn)·， 对应Pn＋1＝Pn＋(1－Pn)＝Pn＋，即3Pn＋1＝Pn＋1，故B错误；所以Pn＋1－＝， 令an＝Pn－，则数列{an}为等比数列，公比为，因为P1＝，所以a1＝，故Pn＝＋，所以P2＝.P5＝，故选项A，C正确； 第1次取出球是红球的概率为P1＝，第2次取出球是红球的概率为P2＝，第3次取出球是红球的概率为P3＝， 前3次取球恰有2次取到红球的概率是××＋××＋××＝，故D错误．故选AC. 探究2　概率、统计与不等式的综合 在检测中为减少检测次数，我们常采取“n合1检测法”，即将n个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测．现有20k(k∈N＋)人，已知其中有2人感染病毒． (1)若k＝5，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率； (2)设采取“10合1检测法”的总检测次数为X，采取“20合1检测法”的总检测次数为Y，若仅考虑总检测次数的期望值，当k为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由． 解：(1)对100个人采取“20合1检测法”需平均分为5组，先检测5次， 因为共检测25次，即2个感染者分在同一组； 只需考虑其中某位感染者所在的小组， 原题等价于：从99人中任选19人与他组成一组， 求选到的19人中有另一位感染者的概率，此概率为＝. (2)若2个感染者分在同一组，则 X＝2k＋10，P＝＝， Y＝k＋20，P＝＝， 若2个感染者分在不同小组，则 X＝2k＋20，P＝1－， Y＝k＋40，P＝1－， E(X)＝2k＋20－，E(Y)＝k＋40－， 令E(X)>E(Y)， 则2k＋20－>k＋40－， 即k2－20.05k＋15.5>0，k∈N*， 抛物线y＝x2－20.05x＋15.5的对称轴为x＝10.025， 取x＝20得y>0，取x＝19得y<0，故k≥20， 综上，当k≥20时，采取“20合1检测法”更适宜． 　北京某高校有20名志愿者报名参加志愿服务工作，其中有2名老师，18名学生．若从中随机抽取n(n∈N＋，n≤20)名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数． (1)若n＝2，求X的分布列与数学期望； (2)当n为何值时，X＝1的概率取得最大值？最大值是多少？ 解：(1)当n＝2时，X的所有可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (2)X＝1的概率为P(X＝1)＝＝，1≤n≤20，且n∈N＋. 因为n(20－n)≤＝100，当且仅当n＝20－n，即n＝10时等号