第十章 第二节 二项式定理（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．二项式定理及相关的概念 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)称为二项式定理 二项展开式 Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)叫作(a＋b)n的二项展开式 二项式系数 各项的系数C(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)叫作二项式系数 二项式通项 Can－rbr叫作二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项为展开式第r＋1项：Tr＋1＝Can－rbr 备注 在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn 2．二项式系数的性质 (1)对称性 二项式系数f(r)关于直线r＝对称，即f(r)＝f(n－r).在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C＝C. (2)单调性和最大值 二项式系数f(r)从两端向中间逐渐增大，且当n是偶数时，展开式的项数n＋1是奇数，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，展开式的项数n＋1是偶数，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． (3)二项式系数的和 ①C＋C＋C＋…＋C＝2n； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 结论拓展 1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． 2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0，1，…，n). 4．(1)C＋2C＋3C＋…＋nC＝n·2n－1. (2)CC＋CC＋…＋CC＝C(m>r>0，n>r>0). (3)(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C. 夯基固本 1．判断正误 (1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．(　　×　　) (2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　√　　) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　×　　) (4)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　√　　) 2.的展开式中的常数项是(　　) A．32 B．－32　 C．252 D．－252 答案：D 3．(二项式系数与展开式的系数混淆致误)若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为(　　) A．－1 B．1 C．27 D．－27 A　解析：依题意，得二项式系数之和为2n＝8，所以解得n＝3，故二项式为，令x＝1，可求得系数之和为(1－2)3＝－1. 4．(2022·北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 B　解析：令x＝1，则a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，① 令x＝－1，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－3)4＝81，② 得a4＋a2＋a0＝＝41， 5．(2x－3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为________． 答案：512　解析：(2x－3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为29＝512. 6．在(1＋x)5＋(1－x)6展开式中，含x4的项的系数是__________． 答案：20　解析：(1＋x)5的展开式中x4的系数为C＝5， (1－x)6的展开式中x4的系数为C＝15， 故在(1＋x)5＋(1－x)6展开式中，含x4的项的系数为20. 　求展开式中的特定项或特定项的系数　　　　　　　　多维贯通 　求二项展开式中的特定项 1．(2022·上海卷)在的展开式中，则含项的系数为________． 答案：66　解析：展开式的通项为Tr＋1＝C·(x3)12－r·＝C·x36－4r， 令36－4r＝－4，可得r＝10，所以展开式中含项的系数为C＝66. 2．(2023·黑龙江哈尔滨模拟)求二项式(x2－)9展开式的第7项及含x9的项的系数． 解：二项式展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)9－k·＝Cx18－2kx－k ＝C(－)kx18－3k， 所以展开式的第7项为T7＝C(x2)3·＝84x6·x－6＝， 令18－3k＝9，所以k＝3，所以含x9的项的系数为C·(－)3＝－. 　形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N＋）的展开式 3．(2022·新高考Ι卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________．(用数字作答) 答案：－28　解析：因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8， 所以(x＋y)8的展开式中含x