第十章 第三节 随机事件的概率与古典概型（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．随机现象 (1)确定性现象：在一定条件下必然发生(出现)的现象． (2)随机现象：在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果．把这种现象称为随机现象． (3)随机试验：对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验． 2．样本空间 (1)样本空间：将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间，记作Ω． (2)样本点：对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能结果称为样本点，记作ω． (3)有限样本空间：如果样本空间中样本点的个数是有限的，则称该样本空间为有限样本空间． 3．随机事件 (1)随机事件：当Ω是试验的样本空间时，我们称Ω的子集A是Ω的随机事件，简称为事件，常用A，B，C等表示． (2)必然事件：Ω也是Ω的子集，并且包括了所有的样本点，所以必然发生，我们称样本空间Ω为必然事件． (3)不可能事件：空集∅也是Ω的子集，所以空集∅是事件；空集∅中没有样本点，永远不会发生，所以我们称∅是不可能事件． 4．概率与频率 (1)频率：设Ω是某个试验的样本空间，A是Ω的事件，在相同的条件下将该试验独立地重复n次，则称Fn(A)＝是n次独立重复试验中事件A发生的频率． (2)频率的稳定性：在相同的条件下，将一实验独立重复n次，若用Fn(A)表示事件A在这n次实验中发生的频率，则当n增大时，Fn(A)将向一个固定的数值P靠近，这个数值P就可以看作事件A发生的概率P(A)，即Fn(A)时P(A)的估计． (3)频率与概率的区别与联系：频率具有随机性，而概率是一个固定量，不具有随机性，因此频率不能完全反应概率． 5.事件的关系 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生必然导致 B发生 A⊆B 并事件 (和事件) A发生或B发生 A∪B或A＋B 交事件 (积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥 (互不相容) A∩B为不可能事件 A∩B＝∅ A与B的差 当且仅当A发生而 B不发生 对立事件 A与B当且 仅有A不发生 Ω\A或 6．概率 随机事件A发生的可能性的大小叫作随机事件A的概率，记作P(A). 7．概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1. 性质2　必然事件的概率为P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果Ω中的事件A，B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质4　如果A是样本空间Ω的事件，则P()＝1－P(A). 性质5　一般地概率加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 8．古典概型 (1)定义：设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同，当Ω中的事件A包含了m个样本点时，称P(A)＝为事件A发生的概率．我们把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型． (2)古典概型的特点 ①样本空间中只有有限个样本点； ②每个样本点出现的可能性相等． (3)事件A的概率计算公式P(A)＝. 结论拓展 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 2．常用结论 (1)频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数． (2)对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． (3)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. (4)当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 夯基固本 1．判断正误 (1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　×　　) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　√　　) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　×　　) (4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．(　　×　　) 2．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品． 下列选项正确的是(　　) A．A∪B＝C B．B∪D是必然事件 C．A∩B＝C D．A∩D＝C AB　解析：对于A选项，事件A∪B指至少有一件次品，即事件C，故A正确； 对于B选项，事件B∪D指至少有两件