第十章 第四节 事件的独立性、条件概率与全概率公式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．条件概率 (1)定义：如果事件A，B是两个随机事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下事件B发生的概率叫作条件概率，记作P(B|A). (2)条件概率公式： ①P(B|A)＝(P(A)＞0)，P(A|B)＝(P(B)>0). ②用n(A)，n(AB)分别表示A，AB中的样本点个数，则P(B|A)＝. 2．事件A与事件B相互独立性 若事件A与事件B相互独立，则事件A的发生不会影响事件B发生的概率，即有P(B|A)＝P(B).反之，若P(B|A)＝P(B)成立，则P(AB)＝P(A)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B). 3．n个事件的相互独立 (1)如果n(n＞2)个事件A1，A2，…，An中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响，则称A1，A2，…，An相互独立． (2)一般地，当n(n＞2)个事件A1，A2，…，An相互独立时，有以下公式成立：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An). 4．乘法公式 若Ai(i＝1，2，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)＞0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)•…•P(An|A1A2…An－1).该式常称为概率的乘法公式． 5．全概率公式 设Ai(i＝1，2，…，n)为n个事件，若满足 (1)AiAj＝∅(i≠j)， (2)A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω， (3)P(Ai)>0，i＝1，2，…，n， 则对任一事件B，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)＝(Ai)P(B|Ai). 上式称为全概率公式． 结论拓展 1．易混淆“相互独立事件”和“互斥事件” 互斥事件是指两事件不可能同时发生，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥． 2．条件概率中P(B|A)与P(A|B)不是一回事．P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率． 3．利用全概率公式解题 通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因．如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人击中． (1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生． (2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和． (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合． 夯基固本 1．判断正误 (1)相互独立事件就是互斥事件．(　　×　　) (2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)·P(B)都成立．(　　×　　) (3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　　√　　) (4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(　　√　　) (5)三个事件A，B，C两两独立，则P(ABC)＝P(A)·P(B)P(C).(　　×　　) 2．已知事件A，B，若P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)＝(　　) A． B． C． D． A　解析：因为P(B)＝，P(AB)＝.所以P(A|B)＝＝. 3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　) A． B． C． D． C　解析：设事件A＝{第一次拿到白球}，事件B＝{第二次拿到红球}， 则P(AB)＝×＝，P(A)＝＝， 所以P(B|A)＝＝. 4．有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为5%，第二台加工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起，已知第一、二台车床加工的零件数分别占总数的40%，60%，从中任取一件产品，则该产品是次品的概率是________． 答案：0.044　解析：该产品是次品的概率是40%×5%＋60%×4%＝0.044. 5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________． 答案：0.38　解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A∪B， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38. 6．(全概率公式应用致误)在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是__________． 答案：