第十章 第五节 离散型随机变量的分布列及数字特征（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．离散型随机变量 (1)随机变量概念：如果随机试验每一个可能结果e，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量．随机变量常用X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来，则称X为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，其相应的概率为p1，p2，…，pn，记P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)，(*) 或把(*)式列成下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 上表或(*)式称为离散型随机变量X的概率分布列(简称为X的分布列). (2)离散型随机变量分布列的性质 ①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．离散型随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的数学期望或均值． 意义：离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均水平． (2)离散型随机变量的方差定义： 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则D(X)＝E＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn，则称D(X)为随机变量X的方差，并称为X的标准差．通常还用σ2表示方差D(X)，用σ表示标准差. 意义：方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散． (3)均值与方差的性质： 若Y＝aX＋b，a，b为常数，则①E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②D(Y)＝a2D(X). 一个结论：D(X)＝E(X2)－[E(X)]2. 结论拓展 1．随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 夯基固本 1．判断正误 (1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　　√　　) (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　×　　) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　　√　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　　√　　) 2．(多选)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示的可能结果为(　　) A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局 BC　解析：甲赢一局输两局得3分，甲与乙平三局得3分． 3．若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) C　解析：由随机变量X的分布列知，P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]. 4．若随机变量X的分布列如表，则X的方差D(X)是(　　) X －1 0 1 P A．0 B．1 C． D． D　解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝0， 则D(X)＝×(－1－0)2＋×(0－0)2＋×(1－0)2＝. 5．(变量取值不全致误)一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(　　) A．36元　　　B．37元　　　C．38元　　　D．39元 B　解析：由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，－20，所以X的分布列为P(X＝50)＝0.6，P(X＝30)＝0.3，P(X＝－20)＝0.1，所以这台机器每生产一件