第九章 第三节 成对数据的统计分析（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．相关系数 (1)一般地，对n个成对观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，我们用表示数据x1，x2，…，xn，表示数据y1，y2，…，yn，用＝i与＝i分别表示和的均值，用sx＝，sy＝分别表示{xi}与的标准差，记 sxy＝－ ＝(xi－)(yi－). 则当sxsy≠0时，我们称 rxy＝＝ ＝ 为{xi}和{yi}的相关系数． (2)相关系数的性质 ①rxy的取值范围是[－1，1]，当0＜rxy＜1时，称{xi}和{yi}正相关；当－1＜rxy＜0时，称{xi}和{yi}负相关；当rxy＝0时，称{xi}和{yi}不相关． ②|rxy|越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高，这时数据(x1，y1)，(x 2，y 2)，…，(x n，y n)分散在一条直线附近． ③|rxy|越接近于0，变量x，y的线性相关程度越低． ④rxy具有对称性，即rxy＝ryx. ⑤rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量. rxy＝0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系． 统计经验告诉我们，当rxy>0.8时，y有随着x的增加而增加的趋势，这时我们认为{xi}和{yi}是高度正相关的；当rxy＜－0.8时，y有随着x的增加而减少的趋势，这时我们称{xi}和{yi}是高度负相关的． (3)相关关系与向量的夹角 设a＝(x1－，x2－，…，xn－)，b＝( y1－，y2－，…，yn－)， 从而有cos 〈a，b〉＝ ＝. 2.回归直线方程与最小二乘法 (1)随机误差 当自变量x取值xi(i＝1，2，…，n)时，我们将根据回归直线方程估计出的i与实际观测值yi 的误差，即yi－i＝yi－(＋xi)(i＝1，2，…，n)，称为随机误差，记作ei. (2)最小二乘法 用随机误差的平方和即Q＝(yi－ －xi)2作为总随机误差来刻画各估计值与实际值之间的误差．若总随机误差最小，则这条直线就是所要求的回归直线，这种使“随机误差平方和最小”的方法叫作最小二乘法． ，的计算公式为＝，＝－.用最小二乘法得到的回归直线方程为 ＝＋x.其中是回归直线在y轴上的截距，是回归直线的斜率． 3．列联表与独立性检验 (1)2×2列联表 如下表，设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量X：A，；变量Y：B，. 通过观察得到如下表所示的数据： 　　Y X　　 B 合计 A a b a＋b c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 像上表这样，将两个(或两个以上)分类变量进行交叉分类得到的频数分布表称为2×2列联表． (2)独立性检验：利用统计量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验． (3)独立性检验的统计思想 一般地，对于两个分类变量X和Y，X有两类取值，即类A和类B; Y也有两类取值，即类1和类2.经过统计调查，我们得到如下2×2列联表所示的抽样数据： 　 Y X　　 类1 类2 合计 类A a b a＋b 类B c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 利用独立性检验推断“X与Y有关系”可按下面的步骤进行： ①提出统计假设H0: X与Y之间没有关系； ②根据2×2列联表与公式χ2＝计算χ2的观测值； ③查临界值表确定临界值x0，然后作出判断． (4)临界值表 P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(χ2≥x0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 夯基固本 1．判断正误 (1)回归方程＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　　×　　) (2)χ2越大，“变量A与B有关系”的把握性越小．(　　×　　) (3)在一元线性回归模型中，ei是＋xi与yi的随机误差，它是一个可观测的量．(　　×　　) (4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程.(　　×　　) (5) 2×2列联表的独立性检验是借助两个变量之间频率大小差异说明两个变量之间是否有关联关系．(　　√　　) 2.对于分类变量X与Y的随机变量χ2值，下列说法正确的是(　　) A．χ2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小 B．χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C．χ2越接近0，“X与Y没有关系”的可信程度越小 D．χ2越大，“X与Y没有