第九章 第二节 用样本估计总体（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．平均数 (1)若样本容量为n，第i个个体是xi，则样本平均数＝. (2)一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f1，f2，…，fn，则其平均数为x1f1＋x2f2＋…＋xnfn. (3)在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层， 用Ni表示第i层(i＝1，2，…，L)的个体总数，则有N＝N1＋N2＋…＋NL. 我们称Wi＝(i＝1，2，…，L)为第i层的层权．对i＝1，2，…，L，用i表示从第i层抽出样本的均值．我们称＝W11＋W22＋…＋WLL是总体均值μ的简单估计. 2．众数和中位数 (1)众数：观测数据中出现次数最多的数是众数，用MO表示． (2)中位数：将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，我们称处于中间位置的数是中位数，用Me表示． 3.百分位数 百分位数是位于按一定顺序排列的一组数据中某一个百分位置的数值，以Pr表示，其中r是区间[1，99]上的整数．一个百分位数Pr，将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有r%的观测值小于或等于它，且至少有(100－r)%的观测值大于或等于它．当r%＝50%时，Pr即对应中位数． 4．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)众数：众数是最高长方形底边的中点所对应的数据，表示数样本数据的中心值． (2)中位数 ①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方中图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差； ②表示样本数据所占频率的等分线． (3)平均数：平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 5．极差、方差和标准差 (1)极差： 在统计学中，我们将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，也称全距，用R表示． (2)总体方差：若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝为总体方差或方差． (3)样本方差 ①若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]为这n个数据的样本方差，也简称为方差． ②如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为n1，n2, 样本均值分别为1，2，样本方差分别为s，s，则全部样本的方差为s2＝{n1[s＋(1－)2]＋n2[s＋(2－)2]}． (4)标准差 ①标准差是方差的算术平方根． ②如果σ2是总体方差，则称σ＝是总体标准差；如果s2是样本方差，则称s＝是样本标准差． ③样本标准差的计算公式： s＝. 结论拓展 1．平均数反映了数据取值的平均水平．标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则 ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 夯基固本 1．判断正误 (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势. (　　√　　) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中． (　　×　　) (3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　　√　　) (4)在频率分布直方图中，样本数据的80%分位数即由小到大分组的累计频率为0.8对应的数据．(　　√　　) 2．某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是(　　) 环数 5 6 7 8 9 10 人数 1 2 7 6 3 1 A．7，7　　　　　　　 B．8，7.5 C．7，7.5　　 D．8，6 C　解析：从表中数据可知7环有7人，人数最多，所以众数是7；中位数是将数据从小到大排列，第10个与第11个数据的平均数，第10个数是7，第11个数是8，所以中位数是＝7.5. 3．下表是某校校级联欢晚会比赛中12个班级的得分情况，则得分的第30百分位数是(　　) 班级得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 2 1 2 3 1 2 1 A．11 B．10.5 C．9.5 D．9 D　解析：12×30%＝3.6，把12个班级的得分按照从小到大排序为7，7，8，9，9，10，10，10，11，13，13，14， 可得30百分位数是第4个得分数，即9. 4．已知一组数据：20，30，40，50，50，60，70，80，记这组数据的第60百分位数为a，众数为b，则a和b的大小关系是__