第十章 第一节 两个计数原理、排列与组合（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．两个计数原理 (1)分类加法计数原理 如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方 法．我们把分类加法计数原理简称为分类计数原理，或加法原理． (2)分步乘法计数原理 如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理，或乘法原理． 2．排列与组合 排列与排列数 组合与组合数 定义 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，不论次序地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 排列数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A 表示 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C 表示 公式 排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)，排列数阶乘式公式：A＝ 组合数公式：C＝＝ 性质 规定：①A ＝1；②0！＝1 规定：C ＝1；C＝C；C＋C＝C 备注 n，m∈N＋，并且m≤n n，m∈N＋，并且m≤n 结论拓展 1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． 2．解决排列、组合问题的十个技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 夯基固本 1．判断正误 (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　×　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　√　　) (3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　×　　) (4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　√　　) (5)若C＝C，则x＝m成立．(　　×　　) 2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．18 B．16 C．14 D．10 C　解析：分两类情况讨论： 第一类，从集合M中取的元素作为横坐标，从集合N中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有3×2＝6(个)； 第二类，从集合M中取的元素作为纵坐标，从集合N中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有2×4＝8(个)， 由分类加法计数原理，所以所求个数为6＋8＝14. 3．某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为(　　) A．30 B．14 C．33 D．90 D　解析：因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤， 所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤有3种选法， 所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同的套餐种数为6×5×3＝90. 4.(多选)已知A－A＋0！＝4，则m的可能取值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 CD　解析：因为A－A＋0！＝4，所以A－×6＋1＝4，所以A＝6， 其中m∈N，m≤3，而A＝1，A＝3，A＝A＝6， 所以m的值可能是2或3. 5．(重复计算或漏算导致错误)4名考生在三道选做题中任选一道进行作答，则这三道题都有人选做的方法数为________． 答案：36　解析：4个人做三道题目，每题至少一人，则必有一个题目有两个人做，因此要先将四个人分成三组，然后再排列，方法数为CA＝36. 6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为______． 答案：30　解析：分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法． 所以不同的选法共有CC＋CC＝18