第六章 专题三 高考中的数列综合问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

专题三　高考中的数列综合问题

探究1　数列与数学文化

1．(2023·新疆喀什模拟)70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的q(q＞1)倍，那么训练n天产生的总数据量为(　　)

A．aqn－1　　　　　　　 B．aqn

C．     D．

D　解析：根据题意可知每天产生的数据量是以a为首项，q(q＞1)为公比的等比数列，

所以训练n天产生的总数据量为.

2．(2022·山东青岛一模)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a斤，设f(x)＝，则f(a)＝(　　)

A．－5　　　　B．7　　　　C．13　　　　D．26

C　解析：由题意知，这个人原来持金为a斤，

第1关收税金为a斤；第2关收税金为··a＝·a斤；

第3关收税金为··a＝·a斤，

以此类推可得的，第4关收税金为·a斤，第5关收税金为·a斤，

所以a＋a＋a＋a＋a＝1，

即·a＝·a＝1，解得a＝，

又由f(x)＝，所以f＝10×＋1＝13.

3．(2022·湖南一模)在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．假设某种传染病的基本传染数R0＝3，平均感染周期为7天(初始感染者传染R0个人为第一轮传染，经过一个周期后这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……)那么感染人数由1个初始感染者增加到1 000人大约需要的天数为(参考数据：36＝729，45＝1 024)(　　)

A．35    B．42    C．49    D．56

B　解析：感染人数由1个初始感染者增加到1 000人大约需要n轮传染，

则每轮新增感染人数为R，

经过n轮传染，总共感染人数为1＋R0＋R＋…＋R＝，

∵R0＝3，∴当感染人数增加到1 000人时，＝1 000，化简得3n＝667，

由35＝243，36＝729，故得n≈6，又∵平均感染周期为7天，

所以感染人数由1个初始感染者增加到1 000人大约需要6×7＝42天．

探究2　等差数列、等比数列的综合

(2022·浙江卷)已知等差数列{an}的首项a1＝－1，公差d＞1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N＋).

(1)若S4－2a2a3＋6＝0，求Sn；

(2)若对于每个n∈N＋，存在实数cn，使an＋cn，an＋1＋4cn，an＋2＋15cn成等比数列，求d的取值范围．

解：(1)因为S4－2a2a3＋6＝0，a1＝－1，

所以－4＋6d－2(－1＋d)(－1＋2d)＋6＝0，

所以d2－3d＝0，又d＞1，

所以d＝3，所以an＝3n－4，所以Sn＝＝.

(2)因为an＋cn，an＋1＋4cn，an＋2＋15cn成等比数列，

所以(an＋1＋4cn)2＝(an＋cn)(cn＋2＋15cn)，

(nd－1＋4cn)2＝(－1＋nd－d＋cn)(－1＋nd＋d＋15cn)，

c＋(14d－8nd＋8)cn＋d2＝0，

由已知方程c＋(14d－8nd＋8)cn＋d2＝0的判别式大于等于0，

所以Δ＝(14d－8nd＋8)2－4d2≥0，

所以(16d－8nd＋8)(12d－8nd＋8)≥0对于任意的n∈N＋恒成立，

所以[(n－2)d－1][(2n－3)d－2]≥0对于任意的n∈N＋恒成立，

当n＝1时，[(n－2)d－1][(2n－3)d－2]＝(d＋1)(d＋2)≥0，

当n＝2时，由(2d－2d－1)(4d－3d－2)≥0，可得d≤2，

当n≥3时，[(n－2)d－1][(2n－3)d－2]＞(n－3)(2n－5)≥0，