第六章 第三节 等比数列（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　

必备知识

1．等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).

2．等比中项

(1)定义：在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．表达式 ：G2＝ab，即G＝± .

3．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式：

Sn＝

4．等比数列的图象

对于等比数列{an}，通项公式an＝a1qn－1＝ ·qn.它们都是一个非零常数c(c＝)与指数函数y＝qx的乘积：y＝cqn.

由指数函数 y＝qx 的图象可以得出y＝cqn.的图象，而 y＝cqn的图象上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an)组成如下图等比数列的图象．

当等比数列的公比q＝1时等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点．

5．等比数列的增减性

对于等比数列{an}，借助函数y＝cqn.的性质．可分析等比数列{an}的增减性如下表．

 

结论拓展

1．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m ∈N＋).

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n ∈N＋)，则ak·al＝am·an.

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(5)若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，其公比为qn.

(6)已知b>0，且b≠1，如果数列{an}是等差数列，那么数列{ban}是等比数列．

(7)如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是等差数列．

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B其中q≠0，且q≠1，AB≠0，则A＝－B是数列{an}为等比数列的充要条件．

3．在数列{an}中，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

夯基固本

1．判断正误

(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　×　　)

(2)任意两个实数都有等比中项. (　　×　　)

(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列. (　　×　　)

2．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an} 的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)

A．14　　　　B．12　　　　C．6　　　　D．3

D　解析：设等比数列{an} 的公比为q，q≠0，

若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，所以q≠1，

则，解得，

所以a6＝a1q5＝3.

3．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26℃时，该元件的电子数目接近(　　)

A．860个     B．1 730个

C．3 072个     D．3 900个