第六章 第二节 等差数列（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　

必备知识

1．等差数列的概念

文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示．符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋).

2．等差数列{an}的通项公式

(1)等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．

(2)推广式：an＝am＋(n－m)d．推广式的变形d＝_．

(3)an＝pn＋q(p，q是常数)(即an是n的一次函数).

3．等差中项

在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项．

4．等差数列与函数的关系

(1)等差数列{an}的通项公式可写成an＝a1＋(n－1)d，当d≠0时，它是关于n的一次函数，当d＝0时，y＝a1 (a1为常数)，这种情形的函数图象也是直线．等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an)组成．

(2)等差数列的增减性

当d>0时，直线 y＝d x＋(a1－d )从左至右上升，等差数列{an }递增，如图甲所示．

当d<0时，直线 y＝d x＋(a1－d )从左至右下降，等差数列{an }递减，如图乙所示．

当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列{an}为常数列，如图丙所示．

5．等差数列的前n项和公式

6.等差数列的前n项和公式与二次函数的关系

将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋ d整理成关于n的函数可得Sn＝ n2＋n.

结论拓展

1．若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.

2．若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

3．若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

4．若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．

5．若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.

6．若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．

7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

(1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；

(2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.

8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.

夯基固本

1．判断正误

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　×　　)

(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　√　　)

(3)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(　　×　　)

(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列. (　　√　　)

(5)等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数．(　　×　　)

2．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为(　　)

A．90　 　　　B．100　 　　　C．487　　　 　D．505

C　解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.

3．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是(　　)

A．15    B．30    C．31    D．64

A　解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，∴3a4＝3，即a1＋3d＝1，a1＋7d＝8，

联立解得Error!则a12＝－＋×11＝15.

4．等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　)