第六章 专题培优课6 数列中的构造问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

◆专题培优课6　数列中的构造问题

探究1　形如an＋1＝Aan＋B 型构造问题(待定系数法)

已知等差数列{an} 中，a2＝11，a9＋a21＝100，数列{bn} 满足2bn＋1＝bn＋，b1＝2.求数列{an} 与数列{bn} 的通项公式．

解：设数列{an} 的公差为d，

∵{an} 为等差数列，∴a9＋a21＝2a15＝100，∴a15＝50.

∵a2＝11，∴a15－a2＝13d＝39，解得d＝3.

∴an＝a2＋(n－2)d＝11＋3n－6＝3n＋5.

∴2bn＋1＝bn＋，∴bn＋1＝bn＋，

∴bn＋1－＝.

∵b1－＝，∴ 是首项、公比均为 的等比数列．

∴bn－＝，∴bn＝＋.

∴an＝3n＋5，bn＝＋.

　(2023·山西师范大学实验中学模拟)已知数列{an}满足2an＋1＝6an＋7，a1＝1，则an＝________．

答案：·3n－1－　解析：由已知可得an＋1＝3an＋，设an＋1＋x＝3(an＋x)，则an＋1＝3an＋2x，

所以2x＝，可得x＝，所以an＋1＋＝3，且a1＋＝，

由题意可知，对任意的n∈N＋，an＋≠0，则＝3，

所以数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为3，

所以an＋＝·3n－1，即an＝·3n－1－.

探究2　形如an＋1＝pan＋f(n) (p≠1) 型构造问题

形如an＋1＝Aan＋Bn＋C 型构造问题（待定系数法)

已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N＋).数列{bn}满足bn＝an－2n，则数列{bn}的通项公式为________．

答案：bn＝3n－2　解析：∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)，

∴bn＋1＝3bn，

且bn＝an－2n≠0，n∈N＋，则＝3，又b1＝a1－2＝－2＝，

∴数列{bn}是首项为，公比为3的等比数列．∴bn＝·3n－1＝3n－2.

 

　数列{an} 满足a1∈Z，an＋1＋an＝2n＋3，且其前n 项和为Sn.若S13＝am，则正整数m＝(　　)

A．99　　　　B．103　　　　C．107　　　　D．198

B　解析：由an＋1＋an＝2n＋3得an＋1－(n＋1)－1＝－(an－n－1)，

∴{an－n－1}为等比数列，∴an－n－1＝(－1)n－1(a1－2)，

∴an＝(－1)n－1(a1－2)＋n＋1，am＝(－1)m－1(a1－2)＋m＋1，

∴S13＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a12＋a13) ＝a1＋2×(2＋4＋…＋12)＋3×6＝a1＋102，

①当m为奇数时，a1－2＋m＋1＝a1＋102，解得m＝103；

②当m为偶数时，－(a1－2)＋m＋1＝a1＋102，解得m＝2a1＋99，

∵a1∈Z，m＝2a1＋99只能为奇数，∴m为偶数时，无解，

综上所述，m＝103.

　形如 an＋1＝pan＋dn 型构造问题（同除法）

(2023·重庆一中模拟)已知数列{an} 满足an＋1－2an＝2n＋1，求数列{an} 的通项公式．