第五章 第三节 平面向量的数量积及综合应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　

必备知识

1．数量积的定义

(1)数量积：设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积．

(2)由平面向量夹角的定义可知，〈a，b〉＝α的取值范围为[0，π].

(3)a·b＝0⇔|a|＝0或|b|＝0或cos 〈a，b〉＝0；a·b＝0⇔a⊥b.

(4)当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0；当90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|.

2．投影

(1)投影向量：已知两个非零向量a，b，作向量＝a，＝b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则＝＋，其中与共线．我们把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度|OB1|＝|||cos α|称为投影长．

(2)a·b的几何意义：一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积．

由此得到利用数量积计算b在a方向上的投影的公式：|b|cos α＝.

3．数量积的性质及其坐标表示

(1)数量积的坐标表示

两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的数量积的坐标表达式为a·b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2.

(2)向量的长度

计算向量a＝(x，y)的模(即长度)的公式为|a|＝＝.

(3)夹角的余弦值

计算两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)夹角余弦值的公式为cos〈a，b〉＝＝.

(4)垂直条件

已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

4．数量积的运算律

设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则如下运算律成立：

(1)交换律：a·b＝b·a；

(2)与数乘的结合律：a·(λb)＝λ(a·b)；

(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

结论拓展

1．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；

(3)a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.

2．有关向量夹角的两个结论

(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；

(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立).

3．a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然a·b＝0，但不能说a⊥b.

夯基固本

1．判断正误

(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　√　　)

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　√　　)

(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　×　　)

(4)(a·b)c＝a(b·c).(　　×　　)

(5)两个向量的夹角的范围是.(　　×　　)

2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　)

A．12　　　　B．6　　　　C．3　　　　D．3

B　解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.

3．在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量在向量上的投影向量为(　　)

A．     B．

C．－     D．－

A　解析：取点O为BC的中点，根据题意作图，