第五章 第一节 平面向量概念与线性运算（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）
知识梳理
1．向量的有关概念
名称 | 定义 | 备注 |
向量 | 既有大小又有方向的量称为向量．向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的模，记作|a| | 向量由方向和长度确定，不受位置影响 |
零向量 | 如果向量a的大小|a|＝0，就称a是零向量，记作0 | 约定，所有的零向量相等 |
单位向量 | 把长度为1的向量称为单位向量，它的长度等于单位长度 | 非零向量a的单位向量为± |
平行向量 | 当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行) | 0与任一向量平行(或共线) |
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| ，记作a∥b |
|
相等向量 | 把方向相同、长度相等的向量称为相等向量 | 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 |
相反向量 | 把长度相等、方向相反的向量a，b称为相反向量，记作b＝－a | 0的相反向量为0 |
2.向量的线性运算
向量运算 | 定义 | 法则(或几何意义) | 运算律 |
加法 | 求向量和的运算称为向量的加法 |
| (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) |
减法 | 已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减法，记为x＝b－a，x称为b与a之差 |
| a－b＝a＋(－b) |
数乘 | 一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，称为a的λ倍，它的长度|λa|＝|λ||a|. 求向量的实数倍的运算称为向量的数 | 当λ≠0且a≠0时，λa的方向
当λ＝0或a＝0时，λa | (1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya. (2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a． (3)对向量加法的分 |
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| 乘 | ＝0a＝0或λa＝λ0＝0
| 配律：x(a＋b)＝xa＋xb |
3．向量共线定理
两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍．
即a∥b⇔存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb.
结论拓展
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即
＋
＋…＋An－1An＝
．特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则
＝
(
＋
).
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则
＋
＋
＝0⇔P为△ABC的重心．
4．在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：
①
＋
＋
＝0；②
＝
(
＋
)；③
＝(＋)，＝
(＋).
5．若＝λ＋μ
(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
夯基固本
1．判断正误
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