第五章 第二节 平面向量基本定理与坐标表示（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　

必备知识

1．平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

设e1，e2是平面上两个不共线向量，则

①平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数．

②实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′.

(2)基

称不共线的向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标．记为v＝(x，y).

2．平面向量的正交分解与坐标表示

(1)把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解．

(2)平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基．记作{i，j}．

(3)建立平面直角坐标系，若平面向量v的坐标是(x，y)，我们视其为v在x轴、y轴正方向上的单位向量e1，e2组成的基下的坐标，即v＝xe1＋ye2＝，其中点P的坐标为(x，y).

反过来，在平面上任取一组标准正交基{e1，e2}，取定一个原点O，作OE1＝e1，OE2＝e2，

以有向直线OE1为x轴，OE2为y轴，|OE1|＝|OE2|为单位长度，建立平面直角坐标系，则任意一点P的坐标(x，y)就是向量＝xe1＋ye2在基{e1，e2}下的坐标．

3．向量线性运算的坐标表示

(1)向量加、减法

两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差)，即a±b＝(x1，y1)±(x2，y2)＝(x1±x2，y1±y2).

(2)向量数乘

一个实数λ与向量a＝(x，y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即λa＝λ(x，y)＝(λx，λy).

(3)向量坐标

在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即＝(x2－x1，y2－y1).

(4)向量平行的坐标表示

向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)平行(也就是共线)，可以直接用(x1，y1)∥(x2，y2)来表示．这意味着其中一个坐标是另一个坐标的实数倍，因此x1y2＝y1x2成立．即(x1，y1)∥(x2，y2)⇔x1y2－y1x2＝0.

结论拓展

(1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.

(3)已知△ABC的顶点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.

夯基固本

1．判断正误

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　×　　)

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　√　　)

(3)平面向量不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　　√　　)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是＝.(　　×　　)

(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　√　　)

2．(多选)在下列各组向量中，不可以作为基的是(　　)

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝

答案：ACD

3．(共线的条件不清致误)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则＝是a∥b的(　　)

A．充要条件　　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件     D．既不充分也不必要条件

C　解析：若＝，则x1y2－x2y1＝0，∴a∥b，若a∥b，有可能x2或y2为0，故选C.

4．在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则＝(　　)