第五章 第四节 复 数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　

必备知识

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi(其中a，b∈R)的数称为复数，其中a称为复数a＋bi的实部，b称为复数a＋bi的虚部，i称为虚数单位.

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式称为复数的代数形式．复数z的实部记作Re z，虚部记作Im z．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)

2．两个复数相等

若两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等，即

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0.

3．复数的几何意义

(1)复平面

与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数．除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

(2)复数的几何意义

(3)复数的模

对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，我们将它在复平面上所对应的向量的模称为复数z的模，也称为z的绝对值，记作|z|.写成公式，即|a＋bi|＝，|z|＝表示点(a，b)到原点的距离．

(4)共轭复数

①对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，如果保持它的实部a不变，将虚部b变成它的相反数－b，得到的复数a－bi称为原复数z的共轭复数，记为，即＝a－bi，反过来也有＝a＋bi，因此＝z.

②复平面上两点P，Q关于x轴对称⇔它们所对应的复数相互共轭．

4．复数的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：

(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

(3)z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(4)＝＝＋i.(c＋di≠0)

5．复数乘法的运算律

(1)对任意复数z1，z2，z3，有

 

(2)复数的乘方运算

对任何复数z1，z2，z3及正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n；(zm)n＝zmn；(z1·z2)n＝(z1)n·(z2)n.

6．复数加减法的几何意义

(1)如图，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别对应向量，，则＝(a，b)，＝(c，d).＝(a＋c，b＋d)＝＋，复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．

(2)复数的减法z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i⇒－＝，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．

结论拓展

1．三个易误点

(1)两个虚数不能比较大小．

(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．

(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．

2．复数代数运算中常用的三个结论

在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．