第四章 第五节 三角恒等变换（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin (α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β． (2)cos (α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β． (3)tan (α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． (3)tan2α＝. 3．半角公式 sin＝± ，cos ＝± ， tan ＝ ＝＝. 4．和差化积公式 (1)cos α＋cos β＝2cos cos . (2)sin α＋sin β＝2sin cos . (3)sin α－sin β＝2cos sin . (4)cos α－cos β＝－2sin sin . 5．积化和差公式 (1)sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]． (2)cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]． (3)cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]． (4)sin αsin β＝－[cos_(α＋β)－cos_(α－β)]． 6．形如a sin x＋b cos x的三角函数式的变形 a sin x＋b cos x＝(sin x＋cos x). 令cos φ＝，sin φ＝， 则a sin x＋b cos x＝(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝sin (x＋φ)(其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tan φ＝确定，或由sin φ＝和cos φ＝共同确定). 结论拓展 几个常用公式 (1)降幂扩角公式 cos2α＝，sin2α＝. (2)升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， 1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2. (3)公式变形：tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan α·tan β). 夯基固本 1．判断正误 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　√　　) (2)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　√　　) (3)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　×　　) (4)当α是第一象限角时，sin ＝.(　　×　　) (5)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　√　　) 2．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．1 B　解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin (270°＋77°)cos (90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin (58°＋77°)＝sin 135°＝. 3．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin ＝(　　) A．－ B． C．－ D． C　解析： ∵α是第三象限角， ∴sin α＝－＝－， ∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－. 4．(多选)下列各式的值正确的是(　　) A．sin 15°cos 15°＝ B．cos2－sin2＝ C．＝1 D．2cos222.5°－1＝ BD　解析：sin15°cos 15°＝sin 30°＝.A不正确；cos2－sin2＝cos＝，B正确； ＝tan45°＝，C不正确；2cos222.5°－1＝cos45°＝，D正确． 5．已知函数f(x)＝ sin 2x＋2cos2x＋3，则f(x)的最小正周期为__________，最小值为________． 答案：π　2　解析：f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋3＝sin2x＋1＋cos 2x＋3＝2sin ＋4， ∴f(x)的最小正周期为π，最小值为2. 6．(角之间的转化致误)若sin ＝，则 cos ＝________． 答案：－　解析：cos ＝－cos ＝－cos ＝－ ＝－＝－. 　公式的简单应用　　　　　　　自主练通 1．已知sin θ＋sin ＝1，则sin ＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． B　解析：因为sin θ＋sin ＝sin ＋sin ＝sin cos －cos sin ＋sin · cos ＋cos sin ＝2sin cos ＝sin ＝1. 所以sin ＝. 2．(2022·山西大同模拟)cos 15°－sin 195°