第三章 第一节 导数的概念与运算（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

必备知识 1．导数 设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0).这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微． 上述定义可以简单地表述为：→f′(x0)(d→0)，读作“d趋近于0时，趋近于f′(x0)”． 2．导数的几何意义 当函数y＝f(x)表示曲线方程时，其导数f′(x)的几何意义就是该曲线在点(x，f(x))处的切线的斜率． 函数y＝f(x)图象在点(x0，f(x0))处的切线方程：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 3．导函数 若y＝f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的导函数或一阶导数． 若f′(x)在定义区间任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x).类似地，可以定义三阶导数f‴(x)等等． 4．导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f′(x)＝ax_ln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝tan x f′(x)＝ 5.导数的运算法则 (1)函数常数倍的导数：(cf(x))′＝cf′(x). (2)两函数之和的求导法则：(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x). 两函数之差的求导法则：(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x). (3)函数乘积的求导法则：(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). (4)函数的倒数的求导法则：′＝－. (5)两函数之商的求导法则：′＝. 6．复合函数的导数 对于复合函数y＝F(x)＝f(g(x))，记u＝g(x)，则F′(x)＝f′(u)·g′(x)，也可以记作y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 结论拓展 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 夯基固本 1．判断正误 (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　×　　) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).(　　×　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(　　√　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　×　　) (5)函数f(x)＝sin (－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　　×　　) 2．若f(x)在x＝x0处存在导数，则d→0时，趋近于(　　) A．f′(x0)　　　　　　 B．－f′(x0) C．2f′(x0) D．－2f′(x0) B　解析：由＝－，根据导数的定义，选B. 3．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) D　解析：由题图可知，y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，则y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处斜率相同，故排除A，B，C. 4．(多选)下列求导数运算正确的有(　　) A．(sin x)′＝cos x B．′＝ C．(log3x)′＝ D. (ln x)′＝ AD　解析：(sin x)′＝cos x，故A正确；′＝－，故B错误；(log3x)′＝，故C错误；(ln x)′＝，故D正确． 5．已知函数f(x)＝ln (3－2x)＋，则f′(x)＝________． 答案：＋2e2x－3　解析：f′(x)＝·(3－2x)′＋e2x－3·(2x－3)′＝＋2e2x－3. 6．(忽视切点的位置致误)已知曲线f(x)＝2x3－3x，过点M(0，32)作曲线f(x)的切线，则切线方程为________． 答案：y＝21x＋32　解析：设切点坐标为N(x0，2x－3x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝6x－3， 故切线方程为y＝(6x－3)x＋32，又因为点N在切线上， 所以2x－3x0＝(6x－3)x0＋32，解得x0＝－2，所以切线方程为y＝21x＋32. 　导数的计算