第三章 第二节 函数的单调性与导数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．函数的单调性与其导数正负的关系 对于一般函数，其单调性与其导数的正负之间有如下法则： (1)若在区间(a，b)内，f′(x)>0，则函数f(x)在此区间内单调递增，(a，b)为f(x)的单调递增区间． (2)若在区间(a，b)内，f′(x)<0，则函数f(x)在此区间内单调递减，(a，b)为f(x)的单调递减区间． 2．函数图象的变化趋势与导数值值大小的关系 (1)函数的导数绝对值大说明函数值变化得快，绝对值小说明函数值变化得慢． (2)从函数的图象上看，导数是切线的斜率．斜率的绝对值大说明切线陡，曲线也就越陡；斜率的绝对值小说明切线较平，曲线也就平缓一些． 结论拓展 1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 夯基固本 1．判断正误 (1)若函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　×　　) (2)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f (x)在此区间内不具有单调性．(　　√　　) (3)若在区间(a，b)内，f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f (x)在区间(a，b)内是减函数．(　　√　　) 2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在区间(－2，1)上f(x)单调递增 B．在区间(1，3)上f(x)单调递减 C．在区间(4，5)上f(x)单调递增 D．在区间(3，5)上f(x)单调递增 C　解析：在区间(4，5)上，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在区间(4，5)上单调递增． 3．函数y＝x cos x－sin x在下面哪个区间上单调递增(　　) A．　　　　　　 B．(π，2π) C． D．(2π，3π) B　解析：y′＝－x sin x，经验证，4个选项中只有在(π，2π)内y′>0恒成立， ∴y＝x cos x－sin x在(π，2π)上单调递增． 4．函数f(x)＝x3－x2－x的单调递增区间为______________，单调递减区间为________． 答案：和(1，＋∞)　 　解析：f′(x)＝3x2－2x－1，令3x2－2x－1>0，解得x＜－或x>1，∴函数f(x)的单调递增区间为 和(1，＋∞)；令3x2－2x－1<0，解得－<x<1，∴函数f(x)的单调递减区间为. 5．若函数f (x)＝sin x＋kx在(0，π)上是增函数，则实数k的取值范围为________． 答案：[1，＋∞)　解析：因为f′(x)＝cos x＋k≥0，所以k≥－cos x，x∈(0，π)恒成立． 当x∈(0，π)时，－1<－cos x<1，所以k≥1. 6．(忽视端点取等号致误)若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． 答案：(0，2]　解析：方法一　由y′＝1－≥0，得x≤－a或x≥a. ∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞). ∵函数在[2，＋∞)上单调递增， ∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2. 又a>0，∴a的取值范围是(0，2]. 方法二　y′＝1－，依题意知1－≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即a2≤x2恒成立， ∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4， 又a>0，∴0<a≤2. 不含参数的函数的单调性问题　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·河南模拟)已知f(x)＝3x2＋6x－6ex＋5，则函数f(x)的单调减区间为(　　) A．(1，＋∞)　　　　　 B．(ln 3，＋∞) C．(－∞，ln 3) D．(－∞，＋∞) D　解析：由题可知，f(x)＝3x2＋6x－6ex＋5，且f(x)的定义域为R， 则f′(x)＝6x＋6－6ex＝6(x＋1－ex)， 令g(x)＝x＋1－ex，则g′(x)＝1－ex，x∈R， 当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＜0， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 则g(x)的最大值为g(0)＝0， 故g(x)≤0恒成立且不恒等于0，故f′(x)≤0在R上恒成立， 所以f(x) 在R上单调递减，即函数f(x) 的单调递减区间为(－∞，＋∞). 2．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x)＝x sin x＋cos x，则f (x)的单调递增区间为________________． 答案：，　解析：f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos