第三章 专题培优课3 导数中的构造问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

◆专题培优课3　导数中的构造问题 近几年高考数学客观题压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解决导数问题的基本方法，以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结，并举例说明． 探究1　加减型构造函数 (2022·四川模拟)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，且有f(1)＝1，f′(x)>；若f(a3)≥a3＋，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1]　　　　　 B． C． D．[1，＋∞) D　解析：令F(x)＝f(x)－x－，则F′(x)＝f′(x)－>0，所以F(x)在R上单调递增， 由f(a3)≥a3＋，得f(a3)－a3－≥0，即F(a3)≥0，又因为f(1)＝1，所以F(1)＝f(1)－－＝0，所以F(a3)≥F(1)，所以a3≥1，解得a≥1.故选D. (2022·重庆模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)，且其图象是连续不断的，满足f′(x)＋3<0，则不等式f(x－1)>3ln x－2x＋2的解集为(　　) A．(0，e) B．(e，＋∞) C．(0，1) D．(1，＋∞) C　解析：∵f(x－1)>3ln x－2x＋2，∴f(x)>3ln (x＋1)－2x(x>－1)， 令g(x)＝f(x)－3ln (x＋1)＋2x(x>－1)， ∵f′(x)＋3<0，则g′(x)＝f′(x)－＋2＝[f′(x)＋3]－－1<0， ∴g(x)在(－1，＋∞)上单调递减． 又f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴g(0)＝f(0)－3ln (0＋1)＋2×0＝0， ∴f(x)>3ln (x＋1)－2x(x>－1)⇔g(x)>g(0)， ∴－1<x<0. 而g(x－1)＝f(x－1)－3ln [(x＋1)－1]＋2(x－1)＝f(x－1)－(3ln x－2x＋2)(x>0)， ∴g(x－1)>0＝g(0)，∴－1<x－1<0，即0<x<1，故选C. 　(2023·天津崇化中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，满足f′(x)>2，f(2)＝4，则不等式xf(x－1)>2x2－2x的解集为________． (－∞，0)∪(3，＋∞)　解析：构造函数g(x)＝f(x)－2x，则g′(x)＝f′(x)－2>0，即函数g(x)在R上为增函数， 且g(2)＝f(2)－2×2＝0. ①当x<0时，由xf(x－1)>2x2－2x可得f(x－1)<2(x－1)，即f(x－1)－2(x－1)<0， 即g(x－1)<0＝g(2)，可得x－1<2，解得x<3，此时x<0； ②当x>0时，由xf(x－1)>2x2－2x可得f(x－1)>2(x－1)，即f(x－1)－2(x－1)>0. 即g(x－1)>0＝g(2)，可得x－1>2，解得x>3，此时x>3. 综上所述，不等式xf(x－1)>2x2－2x的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞). 探究2　加乘型构造函数 已知可导函数f(x)是定义在上的奇函数．当x∈时，f(x)＋f′(x)tan x>0，则不等式cos x·f(x＋)＋sin x·f(－x)>0的解集为(　　) A． B． C． D． D　解析：当x∈时，f(x)＋f′(x)tan x>0， 则cos xf(x)＋f′(x)sin x>0， 令g(x)＝sin xf(x)，则函数g(x)＝sin xf(x)在上单调递增，又可导函数f(x)是定义在上的奇函数，则g(x)＝sin xf(x)是上的偶函数，且在上单调递减，由，可得x∈，则x＋∈，－x∈ 则x∈时，不等式cos x·f＋sin x·f(－x)>0可化为sin ·f>sin (－x)·f(－x)， 又由函数g(x)＝sin xf(x)在上单调递增，且－x∈，x＋∈， 则有>x＋>－x>0，解得－<x<0． 　(2023·江苏淮安模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，导函数为f′(x)，若对任意x∈[0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0恒成立，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)<0 B．9f(－3)<f(1) C．4f(2)>f(－1) D．f(1)<f(2) C　解析：令x＝0，则2f(0)＋0>0，∴f(0)>0，则A错误； 令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)， 当x>0时，由2f(x)＋xf′(x)>0， ∴2xf(x)＋x2f′(x)>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又因为偶函数f(x)的定义域为R， ∴g(x)＝x2f(x)为偶函数，g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴g(－3)＝g(3)>g(1)，9f(－3)>f(1)，故B错误；