第三章 第三节 导数与函数的极值、最值（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．函数的极值 (1)极大值与极大值点 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0 是区间(a，b)内的一个点，若点x0 附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，此时x0 称为f(x)的一个极大值点． (2)极小值与极小值点 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0 是区间(a，b)内的一个点，若点x0 附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，此时x0 称为f(x)的一个极小值点． (3)极值的定义 ①极大值和极小值统称为极值．极大值点和极小值点统称为极值点． ②极值是局部开区间上的最值，刻画的是函数在某此区间内的局部性质． 2．函数在某点取得极值的必要条件 (1)函数在极值点的导数为0，导函数的零点可能不是函数的极值点．也就是说若f′(c)存在，则f′(c)＝0 是f(x)在x＝c 处取到极值的必要条件，但不是充要条件． (2)若f′(c)＝0，则x＝c 叫作函数f(x)的驻点．如果一个函数的导数在驻点的两侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点． 3．函数的最值与导数 (1)取得最值的条件：如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线．那么该函数在[a，b]上必有最大值和最小值． (2)函数y＝f(x)在[a，b]上的最值(最大值和最小值的统称)必在极值点或区间端点处取得，我们只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点的函数值求出并进行比较，就可以求出在该闭区间上的最大值与最小值． (3)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②求函数y＝f(x)在端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大者是最大值，最小者是最小值． 结论拓展 函数极值与最值的关系 1．极值只能在定义域内取得不包括端点，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取． 2．若函数在开区间内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． 夯基固本 1．判断正误 (1)函数的极大值不一定比极小值大．(　　√　　) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0 点为极值点的充要条件．(　　×　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　×　　) (4)开区间上的单调连续函数无最值．(　　√　　) 2．函数f(x)＝(x2－1)2＋2 的极值点是(　　) A．x＝1　　　　　　　 B．x＝－1 C．x＝1 或－1 或0 D．x＝0 C　解析：∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0 得x＝0 或x＝1 或x＝－1. 又当x<－1 时，f′(x)<0，当－1<x<0 时，f′(x)>0，当0<x<1 时，f′(x)<0，当x>1 时，f′(x)>0，∴x＝0，1，－1都是f(x)的极值点． 3．(多选)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，以下命题正确的是(　　) A．－3是函数y＝f(x)的极值点 B．－1是函数y＝f(x)的最小值点 C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D．y＝f(x)在x＝0 处切线的斜率小于零 AC　解析：由导函数图象可得，－3是函数y＝f(x)的极小值点，A正确；在(－3，1)上f′(x)≥0，∴y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增，C正确；f′(－1)左右同号，故B错误；f′(0)>0，故D错误． 4．设函数f(x)＝＋ln x，则该函数的数值点情况为(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 D　解析：f(x)＝＋ln x，f′(x)＝－＋＝，当x>2 时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；当0<x<2 时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数，故x＝2 为f(x)的极小值点. 5．f(x)＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值是(　　) A．1＋　　　　　　　 B．1 C．e＋1 D．e－1 D　解析：f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0，令f′(x)>0，得x>0，令f′(x)<0，得x<0，则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝＋2－e<＋2－e<0，所以f(1)>f(－1)，故最大值为e－1. 6．(忽视参数的检验致误)函