第三章 专题一 第一课时 利用导数证明不等式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

专题一　高考中的导数问题 第一课时　利用导数证明不等式 利用导数证明不等式在高考中经常被考查，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等知识相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果. 　移项构造函数证明不等式　　　　　　　　　讲练融通 设函数f(x)＝ln (a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a. (2)设函数g(x)＝，证明：g(x)<1. (1)解：由题意，得y′＝ln (a－x)－(a>x). 因为x＝0是函数y＝xf(x)的极值点，所以ln a＝0，解得a＝1. (2)证明：由(1)知g(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，1)， 当x∈(0，1)时，x ln (1－x)<0； 当x∈(－∞，0)时，x ln (1－x)<0. 故要证g(x)<1，即证x＋ln (1－x)>x ln (1－x)，则有－(1－x)＋(1－x)ln (1－x)＋1>0. 令t＝1－x，t∈(0，1)∪(1，＋∞)，即证t ln t－t＋1>0. 设h(t)＝t ln t－t＋1，则h′(t)＝ln t. 当t变化时，h′(t)和h(t)的变化情况如下： t (0，1) (1，＋∞) h′(t) － ＋ h(t)   所以当t∈(0，1)∪(1，＋∞)时，h(t)>h(1)＝0， 所以原不等式成立，即g(x)<1. 　(2023·山东济南模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a<0时，证明：f(x)≤－－2. (1)解：f′(x)＝ ＝，x>0. 当a≥0时，f′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a<0，则令f′(x)＝0，解得x＝－. 所以当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． (2)证明：设g(x)＝f(x)＋＋2. 要证原不等式成立，需证g(x)max≤0，即证f(x)max＋＋2≤0. 由(1)知，当a<0时，f(x)max＝f.即证ln ＋＋1≤0. 不妨设t＝－>0，则证ln t－t＋1≤0，令h(t)＝ln t－t＋1，求导得h′(t)＝－1. h′(t)>0时，t∈(0，1)，h′(t)<0时，t∈(1，＋∞). 所以h(t)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则h(t)max＝h(1)＝0.故f(x)≤－－2. 　分拆函数法证明不等式　　　　　　　　　　讲练融通 (2023·山东青岛模拟)设函数f(x)＝aex ln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)证明：f(x)>1. (1)解：因为f′(1)＝e，f(1)＝2，而f′(x)＝aex ln x＋，所以，解得a＝1，b＝2. (2)由(1)知，f(x)＝ex ln x＋ex－1，从而f(x)>1等价于x ln x>xe－x－.设函数g(x)＝x ln x，则g′(x)＝1＋ln x．所以当x∈时，g′(x)<0；当x∈时，g′(x)>0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x).所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．从而h(x)在(0，＋∞)上最大值为h(1)＝－，综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. 　(2022·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝ex2－x ln x．求证：当x>0时，f(x)<xex＋. 证明：要证f(x)<xex＋，只需证ex－ln x<ex＋，即ex－ex<ln x＋. 令h(x)＝ln x＋(x>0)，则h′(x)＝，易知h(x)在上单调递减，在上单调递增， 则h(x)min＝h＝0，所以ln x＋≥0. 再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex，易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0. 因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以ex－ex<ln x＋，故原不等式成立． 　双变量不等式的证明　　　　　　　　　讲练融通 已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R. (1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程； (2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥. (1)解：当a＝0时，f(x)＝ln x＋x(x>0)，则f(1)＝1，所以