第三章 专题一 第三课时 利用导数研究函数的零点问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

第三课时　利用导数研究函数的零点问题 函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现． 　函数零点个数的判断问题　　　　　　　　　　讲练融通 (2022·天津崇化中学模拟)已知函数f(x)＝ln x＋－，a∈R且a≠0. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当x∈时，试判断函数g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m的零点个数． 解：(1)f′(x)＝(x>0)，当a<0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得0<x<， ∴函数f(x)在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)当x∈时，函数g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m的零点， 即当x∈时，方程(ln x－1)ex＋x＝m的根． 令h(x)＝(ln x－1)ex＋x，则h′(x)＝ex＋1. 由(1)知当a＝1时，f(x)＝ln x＋－1在上单调递减，在(1，e)上单调递增， ∴当x∈时，f(x)≥f(1)＝0.∴＋ln x－1≥0 在x∈上恒成立． ∴h′(x)＝ex＋1≥0，∴h(x)＝(ln x－1)ex＋x在x∈上单调递增． ∴h(x)min＝h＝－2e＋，h(x)max＝e. ∴当m<－2e＋或m>e时，函数g(x)在上没有零点；当－2e＋≤m≤e 时，函数g(x)在上有且只有一个零点． 　(2022·山东淄博二模)已知函数fn(x)＝1＋x＋＋＋…＋(n∈N＋). (1)证明：f3(x)单调递增且有唯一零点； (2)已知f2n－1(x)单调递增且有唯一零点，判断f2n(x)的零点个数． (1)证明：因为f3(x)＝1＋x＋＋，所以f3′(x)＝1＋x＋>0，所以f3(x)＝1＋x＋＋在R上单调递增． 又因为f3(－2)＝－<0，f3(0)＝1>0，所以f3(x)有唯一零点． (2)解：因为f2n(x)＝1＋x＋＋＋…＋＋， 所以f′2n(x)＝1＋x＋＋＋…＋＝f2n－1(x)， 又因为f2n－1(x)单调递增且有唯一零点，设其零点为xn， 则当x∈(－∞，xn)时，f2n－1(x)<0，当x∈(xn，＋∞)时，f2n－1(x)>0. 所以f2n(x)在(－∞，xn)上单调递减，在(xn，＋∞)上单调递增． 所以f2n(x)min＝f2n(xn)＝f2n－1(xn)＋， 因为f2n－1(xn)＝0，所以f2n(x)≥f2n(xn)＝f2n－1(xn)＋＝>0， 所以f2n(x)的零点个数为0. 　由函数零点个数求参数取值范围问题　　　　　　　　讲练融通 (2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln (1＋x)＋axe－x. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 解：(1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)， 当a＝1时，f(x)＝ln (1＋x)＋，f(0)＝0，所以切点为(0，0)，f′(x)＝＋，f′(0)＝2，所以切线斜率为2． 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x. (2)f(x)＝ln (1＋x)＋， f′(x)＝＋＝， 设g(x)＝ex＋a(1－x2). 若a>0，当x∈(－1，0)，g(x)＝ex＋a(1－x2)>0， 即f′(x)>0. 所以f(x)在(－1，0)上单调递增，f(x)<f(0)＝0， 故f(x)在(－1，0)上没有零点，不合题意． 若－1≤a≤0，当x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝ex－2ax>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)＝1＋a≥0，即f′(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)>f(0)＝0， 故f(x)在(0，＋∞)上没有零点，不合题意． 若a<－1， ①当x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝ex－2ax>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， g(0)＝1＋a<0，g(1)＝e>0， 所以存在m∈(0，1)，使得g(m)＝0，即f′(m)＝0. 当x∈(0，m)，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以当x∈(0，m)，f(x)<f(0)＝0，当x→＋∞，f(x)→＋∞， 所以f(x)在(m，＋∞)上有唯一零点， 又f(x)在(0，m)上没有零点，即f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点． ②当x∈(－1，0)，g(x)＝ex＋a(1－x2). 设h(x)＝g(x)