第三章 专题一 第二课时 利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

第二课时　利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 恒成立问题与有解问题是高考数学的重要知识，其中不等式恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，难度略大． 　分离参数法解不等式恒成立问题　　　　　　　　　讲练融通 (2022·山东青岛模拟)已知f(x)＝x ln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)函数f(x)＝x ln x的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1. 令f′(x)＜0，得0<x<， ∴f(x)的单调递减区间是. 令f′(x)＞0，得x>，∴f(x)的单调递增区间是. 综上，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是. (2)∵g′(x)＝3x2＋2ax－1，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，∴2x ln x≤3x2＋2ax＋1恒成立． ∵x＞0，∴a≥ln x－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立． 设h(x)＝ln x－x－(x>0)，则h′(x)＝－＋＝－. 令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－(舍去). 当x∈(0，1)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减． ∴当x＝1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2， ∴若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a≥h(x)max＝－2， 故实数a的取值范围是[－2，＋∞). 　 已知函数f(x)＝ln x－ax2＋1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a＝0，xf(x)>k(x－1)在(1，＋∞)上恒成立，求整数k的最大值． 解：(1)f′(x)＝－2ax＝(x>0)， 当a≤0时，f ′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a>0时，由f ′(x)>0，得0<x<，则f(x)在上单调递增； 由f ′(x)<0，得x>，则f(x)在上单调递减． 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)由题意，x(ln x＋1)>k(x－1)在(1，＋∞)上恒成立，即k<(x>1). 设g(x)＝(x>1)，则g′(x)＝. 令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，则h′(x)＝1－>0，所以h(x)在(1，＋∞)上为增函数． 因为h(2)＝－ln 2<0，h(3)＝1－ln 3＝ln <0，h(4)＝2－ln 4＝ln >0，所以h(x)在(1，＋∞)上有唯一实数根m∈(3，4)，使得m－ln m－2＝0. 当x∈(1，m)时，h(x)<0；当x∈(m，＋∞)时，h(x)>0.即g(x)在(1，m)上单调递减，在(m，＋∞)上单调递增， 所以g(x)在x＝m处取得极小值，且g(m)＝＝m，所以k<m.由3<m<4，得整数k的最大值为3. 　等价转化法求参数范围　　　　　　　　　　讲练融通 (2023· 江西九江模拟)已知函数f(x)＝a ln x＋x，g(x)＝xex－a. (1)若x＝1是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间； (2)若a＝1，证明：f(x)≤g(x). (1)解：由已知可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝＋1；因为x＝1是f(x)的极值点，所以f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，此时f′(x)＝－＋1＝； 故当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0； 所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1). (2)证明：若a＝1，则f(x)＝ln x＋x，g(x)＝xex－1， 设h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋x－xex＋1，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝＋1－(x＋1)ex＝(x＋1)； 令t(x)＝－ex，x∈(0，＋∞)，则t′(x)＝－－ex<0 对任意x∈(0，＋∞)恒成立， 所以t(x)＝－ex 在(0，＋∞)上单调递减； 又t＝2－>0，t(1)＝1－e<0，所以∃x0∈，使得t(x0)＝－＝0，即＝，则ln ＝ln ，即－ln x0＝x0； 因此，当0<x<x0 时，t(x)>0，即h′(x)>0，则h(x)单调递增； 当x>x0 时，t(x)<0，即h′(x)<0，则h(x)单调递减； 故h(x)≤h(x0)＝ln x0＋x0－x0＋1＝0－1＋1＝0，即f(x)≤g(x). 　(2023·河南模拟)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－