第三章 专题培优课4 隐零点与极值点偏移问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

◆专题培优课4　隐零点与极值点偏移问题 探究1　隐零点问题 导函数的零点在很多时候无法直接解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达，这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题． (2023·山东济南模拟)已知函数f(x)＝aex－2x，a∈R. (1)求函数f的极值； (2)当a≥1时，证明：f(x)－ln x＋2x>2. (1)解：f′(x)＝aex－2， 当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减，则f无极值． 当a>0时，令f′(x)>0 得x>ln ，令f′(x)<0 得x<ln ， ∴f在上单调递减，在上单调递增， ∴f的极小值为f＝2－2ln ，无极大值， 综上，当a≤0时，f(x)无极值．当a>0时，f(x)的极小值为2－2ln ，无极大值． (2)证明：当a≥1时，f(x)－ln x＋2x≥ex－ln x， 令g(x)＝ex－ln x－2，转化为证明g(x)>0， ∵g′(x)＝ex－(x>0)，令φ(x)＝ex－(x>0)， 则φ′(x)＝ex＋(x>0)，则φ′(x)>0， ∴g′(x)在上为增函数，∵g′＝e－1>0，g′＝－2<0， ∴∃x0∈，使得g′(x0)＝0，∴函数g(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴g(x)≥g(x0)＝－ln x0－2＝＋x0－2≥2－2＝0，当且仅当＝x0，即x0＝1时取等号， ∵x0≠1，∴g(x)>0，∴f－ln x＋2x>2. 　已知函数f(x)＝(2aex－x)ex. (1)若a＝0，求f(x)的单调区间； (2)若对于任意的x∈R，f(x)＋≤0 恒成立，求a 的最小值． 解：(1)若a＝0，则f(x)＝－xex，f′(x)＝－(x＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝－1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，单调递减区间是(－1，＋∞). (2)f′(x)＝4ae2x－(x＋1)ex＝－ex(x＋1－4aex).因为∀x∈R，f(x)＋≤0， 又f(0)＝2a，所以2a＋≤0，则a<0.令g(x)＝x＋1－4aex，则g(x)在R上单调递增．因为当x<0 时，g(x)<x＋1－4a，所以g(4a－1)<4a－1＋1－4a＝0.因为g(－1)＝－4ae－1>0，所以∃x0∈(4a－1，－1)，使得g(x0)＝0.且当x∈(－∞，x0)时，g(x)<0，则f′(x)>0，当x∈(x0，＋∞)时，g(x)>0，则f′(x)<0， 所以f(x)在(－∞，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．故f(x)max＝f(x0)＝.由g(x0)＝x0＋1－4a＝0，得a＝. 由f(x)max＋≤0，得，即≥. 结合x0＋1<0，得x－1≤8，所以－3≤x0<－1. 令h(x)＝(－3≤x<－1).则h′(x)＝>0，所以h(x)在[－3，－1)上单调递增，所以h(x)≥h(－3)＝，即a≥－.故a的最小值为－. 探究2　极值点偏移问题 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图象没有对称性．若函数f(x)在x＝x0 处取得极值，且函数y＝f(x)与直线y＝b交于A(x1，b)，B(x2，b)两点，则AB的中点为M，而往往x0≠.如图2所示． 极值点偏移的定义：对于函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点x0，方程f(x)的解分别为x1，x2，且a<x1<x2<b，若≠x0，则称函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上极值点x0 偏移．(1)若>x0，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上极值点x0 左偏，简称极值点x0 左偏；(2)若<x0，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上极值点x0 右偏，简称极值点x0 右偏． 对称化构造法 (2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1. (1)解：f(x)定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＋1＝ ＝. 令f(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0，1)，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以f(x)≥f(1)＝e＋1－a， 若f(x)≥0，则e＋1－a≥0，即a≤e＋1， 所以a 的取值范围为(－∞，e＋1]. (2)证明：由题知f(x)一个零点小于1，一个零点大于1. 不妨设x1<1<x2，要证x1x2<1，即证x1<， 因为x1，∈(0，1)，即证f(x1)>f， 因为f(x1)＝f(x2)，即证f(x2)>f， 即证－ln x