第四章 第一节 任意角、弧度制与任意角的三角函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．角的概念 (1)角的概念：角可以看作是平面内一条射线OA绕着其端点O从初始位置旋转到终止位置OB时所形成的图形．其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边． (2)终边相同的角 一般地，给定一个角α，把所有与角α终边相同的角用集合表示出来，即{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，当k＝0时，角β就是角α本身． (3)按照角的旋转方向，分为如下三类： 类型 定义 正角 一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角 负角 以顺时针方向旋转所成的角 零角 不旋转所成的角 (4)象限角：在一个平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，“弧度”用符号rad表示． (2)公式 ①弧度与角度的换算：360°＝2π rad，180°＝π rad. ②弧长公式：l＝|α|r. ③扇形面积公式：S＝l·r＝|α|r2. (1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零． (2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．三角函数的概念 (1)三角函数的定义 设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)定义：sin α＝，cos α＝，tan α＝，其中r＝. 以上三个比值分别称为角 α的正弦、余弦、正切． y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分别叫作角α的正弦函数，余弦函数，正切函数．以上三种函数都称为三角函数． (2)三角函数值的符号 4．三角函数线 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合). 过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线． 结论拓展 1．终边相同的角不一定相等． 2．“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°<α<90°}，第一象限的角的集合为{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角和零角． 3．角的集合的表示形式不是唯一的，如＝. 4．一个口诀：三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 夯基固本 1．判断正误 (1)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　√　　) (2)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小有关．(　　×　　) (3)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　×　　) (4)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(　　×　　) 2．(多选)在下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A．160°　　　　　 B．480° C．－960° D．1 530° ABC　解析：480°＝360°＋120°；－960°＝－3×360°＋120°；1 530°＝4×360°＋90°.故属于第二象限角的是ABC. 3．若α是第三象限的角，则 π－是(　　) A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角 C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角 B　解析：∵α 是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，∴kπ＋<<kπ＋，k∈Z， ∴－kπ－<－<－kπ－，k∈Z， ∴－kπ＋<π－α<－kπ＋，k∈Z，故当 k 为偶数时，π－α 是第一象限角；当 k 为奇数时，π－α 是第三象限角． 4．已知角θ的终边过点P(－12，5)，则sin θ＝，cos θ＝________． 答案：　－　解析：由三角函数的定义，得sin θ＝＝，cos θ＝＝－. 5.已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为________． 答案：1.2　解析：由弧长公式l＝αr，得α＝＝＝1.2弧度． 6．(忽视对角终边位置的讨论致误)若α的终边所在直线经过点P，则sin α＝________． 答案：±　解析：∵直线经过二、四象限，又点P在单位圆上，若的终边在第二象限，则sin α＝sin ＝，若α的终边在第四象限，则sin α＝－，综上可知sin α＝±. 　象限角与终边相同的角　　　　　　　　　　自主练通 1．(多选)下列四个命题中，正确的是(　　) A．－是第二象限角 B．是第三象限角 C．－400°是第四象限角 D．－315°是第一象限角 BCD　解析：－是第三象限角，故A错误；＝π＋，从而是第三象限角，故B正确；－