第四章 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R). (2)商数关系：tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z).． 2．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α sin α －sin α －sin α sin_α cos_α cos_α cos α －cos α cos α －cos_α sin_α －sin_α tan α tan α －tan α －tan_α — — 结论拓展 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α). (2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (3)sin α＝tan αcos α. (4)sin2α＝＝； cos2α＝＝. 夯基固本 1．判断正误 (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　×　　) (2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　×　　) (3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　×　　) (4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　×　　) 2．若sin α＝，<α<π，则tan α＝(　　) A．－2　　　　　　　　 B．2 C． D．－ D　解析：∵<α<π，∴cos α＝－＝－，∴tanα＝＝－. 3．已知sin ＝，则 cos 的值等于(　　) A．－ B． C． D．± B　解析：因为＋α 与－α 互余，所以 cos ＝sin ＝. 4．已知tan α＝2，则的值为________． 答案：3　解析：原式＝＝＝3. 5.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________． 答案：－　解析：∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈， ∴sin θ－cos θ＝－. 6．(对诱导公式理解不对致误)若sin ＝， 则cos ＝________． 答案：－　解析：cos ＝cos ＝ －cos ＝－1＋2sin2＝－. 　诱导公式及应用　　　　　　　　自主练通 1．(2023·福建福州模拟)点A(sin2 024°，cos 2 024°)在直角坐标平面上位于(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　解析：sin 2 024°＝sin 224°＝－sin 44°＜0，cos 2 024°＝cos 224°＝－cos 44°＜0.即在直角坐标平面上位于第三象限． 2．(2023·江西临川联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin ·tan (π＋α)＝(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：sin ·tan (π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cos α＝－，所以sin α＝＝＝，即sin·tan (π＋α)＝. 3．已知cos ＝a，则cos ＋sin 的值是________． 答案：0　解析：因为cos ＝cos ＝－cos ＝－a， sin ＝sin ＝cos ＝a，所以cos ＋sin ＝0. 　同角三角函数基本关系的应用　　　　　　多维贯通 知弦求切 (2022·福建福州一模)已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈，则tan α＝________． 答案：－2　解析：因为3sin α·tan α＋8＝0，α∈，所以＋8＝0， 整理可得3cos2α－8cosα－3＝0，解得cos α＝－或cos α＝3(舍去). 所以sin α＝＝，所以tanα＝＝－2. 　若本例的条件改为“＝2，α∈”．求tan α的值． 解：因为＝2，所以sin α＝2＋2cos α. 两边平方，得sin2α＝4＋8cosα＋4cos2α，即1－cos2α＝4＋8cosα＋4cos2α， 整理得，5cos2α＋8cosα＋3＝0，解得cos α＝－1或cos α＝－. 当cos α＝－1时，1＋cos α＝0，无意义； 当cos α＝－时，sin α＝，所以tan α＝＝－. 　(2023·青海西宁模拟)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝(　　) A．　　　　　　　　 B．－ C． D．－ B　解析：P点的纵坐标为－6<0，且cos α＝－<0，