第四章 第四节 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及模型的简单应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念． y＝A sin (ωx＋φ) (A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)一个周期内的简图 用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 4．三角函数模型的应用 (1)根据实际问题的图象求出函数解析式． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型． 结论拓展 (1)函数的周期与图象的对称性之间的关系 ①正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期． ②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是周期． (2)对称轴(对称中心)与函数值的关系 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f(x)＝A sin (ωx＋φ)，g(x)＝A cos (ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0，0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0. 夯基固本　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判断正误 (1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象．(　　×　　) (2)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　×　　) (3)若函数y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z).(　　√　　) (4)函数y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　√　　) 2.函数y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，4π，　　　　　　　　 B．2，， C．2，，－ D．2，4π，－ C　解析：由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－. 3．(2022·浙江卷)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 D　解析：因为y＝2sin 3x＝2sin ，所以把函数y＝2sin 图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin 3x的图象． 4．(2023·青海模拟)已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为___________． 答案：f(x)＝cos 　解析：由图象知，＝－，∴T＝π，∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝cos (2x＋φ)过点， ∴2×＋φ＝2kπ＋π，解得φ＝2kπ－，且|φ|<， ∴φ＝－，∴f(x)＝cos . 5．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况： 月份x 1 2 3 4 收购价格y(元/斤) 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为______________． 答案：y＝sin ＋6　解析：设y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin ＋6. 因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin ＋6， 结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin ＋6. 　由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式　　　　　　讲练融通 (1)(2023·兰州模拟)已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________． (2)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件[f(x)－f]·>0的最小正整数x为______． 答案：(1)－　(2)2　解析：(1)由题意得，A＝，T＝4＝，则ω＝. 又因为f(x)＝A cos (ωx＋φ)为奇函数， 所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝， 所以f(x)＝cos ，所以f(1)＝－. (2)由＝－＝，得T＝π，ω＝2，将代入y＝2cos (2x＋φ)，得cos ＝0，即＋φ＝，解得φ＝－，所以f(x)＝2cos . >0等价