第二章 第八节 函数与方程（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．函数的零点的概念 (1)概念：对于一般函数，方程f(x)＝0的实数根叫作函数y＝f(x)的零点． (2)方程的根、函数的图象、函数的零点三者之间的联系． 2．函数零点的判断 求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的零点．设函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，如果在区间[a，b]的左端点x＝a处，曲线在x轴上方，而在x＝b处，曲线在x轴下方，则可以断定，曲线一定会和x轴在(a，b)内的某点处相交，一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0，则存在点x0∈，使得f(x0)＝0. 3．二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法． 结论拓展 1．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点． 2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点． 4．函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点⇔方程F(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点． 夯基固本 1．判断正误 (1)若函数g＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　×　　) (2)用二分法可求所有函数的零点．(　　×　　) (3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用．(　　√　　) (4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(　　×　　) 2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) A　解析：根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点． 3．函数f＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A．(1，2)　　　　　　　　 B．(2，3) C．和(3，4) D．(4，＋∞) B　解析：因为f(2)＝ln 2－1<0，f＝ln 3－>0，所以f(2)·f(3)<0. 4．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0) B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1 C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点 D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标 BD　解析：根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误． 5．若函数f(x)在[a，b]上图象连续不断，且同时满足f(a)f(b)<0，ff>0，则(　　) A．f(x)在上有零点 B．f(x)在上有零点 C．f(x)在上无零点 D．f(x)在上无零点 B　解析：因为f(a)f(b)<0，ff>0，所以ff<0，又f(x)在上图象连续不断，所以f(x)在上有零点． 6．(忽视二次项系数为零的讨论)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为_______． 答案：0，－　解析：当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1， 故f(x)只有一个零点为－1，当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－. 综上有a＝0或－. 　函数零点所在区间的判定　　　　　　　　　　自主练通 1．(2022·新疆三模)函数f(x)＝2x＋ln x－1的零点所在的区间为(　　) A．　　B．　　C．　　D． D　解析：函数f(x)＝2x＋ln x－1为(0，＋∞)上的增函数， 由f(1)＝1>0，f＝－ln 2－1<－ln 2－1＝－ln 2<－ln ＝－＝0， 可得函数f(x)的零点所在的区间为.故选D. 2．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 D　解析：当x∈时，函数图象连续不断， 且f′(x)＝－＝<0，所以函数f(x)在上单调递减．又f＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函数f(x)有唯一的零点在区间(1，e)内． 3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1).当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________． 答案：2　解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x