第二章 第九节 函数模型及其应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．几种函数增长的快慢 (1)指数函数y＝ax(a＞1)，a越大增长越快． (2)对数函数y＝logax(a＞1)，a越小，增长越快． (3)幂函数y＝xα(α＞0)，α越大增长越快． (4)一次函数y＝kx＋b(k＞0)，k越大增长越快． 2．几种函数增长的快慢比较 (1)当自变量x足够大时幂函数y＝xα(α＞0)的增长比一次函数y＝kx＋b(k＞0)快得多． (2)一次函数y＝kx＋b(k＞0)比对数函数y＝logax(a＞1)增长得快． (3)指数函数y＝ax(a＞1)最快，对数函数y＝logax(a＞1)最慢． 3．数学建模的步骤 (1)正确理解并简化实际问题； (2)建立数学模型； (3)求得数学问题的解； (4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性． 4．常见的函数模型 (1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0) (3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (4)指数型函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1) (5)对数型函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1) (6)幂型函数模型：f(x)＝axα＋b(a，b为常数，α≠0) (7)“对勾”函数模型：f(x)＝x＋(k为常数，且k＞0) (8)分段函数模型：这个模型实质是以两种或多种模型的结合． 结论拓展 1．(1)当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型． 2．对勾函数y＝x＋(a>0)在和上单调递增，在和上单调递减． 当x＞0，x＝时取最小值2；当x＜0时，x＝－时取最大值－2. 夯基固本 1. 判断正误 (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　×　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　×　　) (3)已知a>0且a≠1，则不存在x0，使ax0<x<logax0.(　　×　　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝abx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　×　　) 2．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x D　解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意． 3．下列函数中，随着x(x>1)的增大，函数值的增长速度最快的是(　　) A．y＝8lg x B．y＝x8 C．y＝ D．y＝9×8x D　解析：当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数y＝9×8x的增长速度最快． 4．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．6 B．9 C．8 D．7 BC　解析：设经过n次过滤，产品达到市场要求， 则×≤，即≤， 由n lg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4，故选BC. 5．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2024年冬越冬白鹤有(　　) A．4 000只 B．5 000只 C．6 000只 D．7 000只 C　解析：由题意，当x＝1时，可得3 000＝alog3(1＋2)，解得a＝3 000，所以2024年冬有越冬白鹤为y＝3 000·log3(7＋2)＝6 000.故选C. 6．用32 m2的材料制作一个长方体形的无盖盒子，如果底面的宽规定为2 m，那么这个盒子的最大容积可以是(　　) A．36 B．18 C．16 D．14 C　解析：如图，长方体无盖盒子底面边长为x(m)，高为h(m)，体积为v(m3)， 表面积为2x＋2hx＋4h＝32， ∴h＝(0<x<16)， 体积为v＝2hx＝＝，