第二章 第一节 函数及函数的表示方法（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．函数的概念 函数的定义：设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y＝f(x)( x∈A，y∈B). 2．函数的三要素 定义域，对应法则，值域． 3．相等函数 两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等． 4．函数的三种常用表示法 解析法、图象法、列表法． 5．分段函数 (1)一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 结论拓展 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点． 2．常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． (4)y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞). (5)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}． 夯基固本 1．判断正误 (1)函数y＝1或y＝x0是同一个函数．(　　×　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　×　　) (3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f(x2)＝25.(　　×　　) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　√　　) 2．(多选)下列四个图象中，是函数图象的是(　　) 　A B 　C D ACD　解析：根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有B不满足． 3．下列函数f(x)与g(x)是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1 B．f(x)＝x2，g(x)＝ C．f(x)＝x2，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝ 答案：C 4．已知函数f(x)＝则f等于(　　) A．－1 B．2 C． D． D　解析：∵f＝log3<0，∴f＝. 5．函数f(x)＝＋的定义域为________． 答案：[0，2)∪(2，＋∞)　解析：依题意解得x≥0且x≠2， ∴函数f(x)的定义域为[0，2)∪(2，＋∞). 6．(忽视变量的范围致误)已知f＝x－1，则f(x)＝________． 答案：x2－1(x≥0)　解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0). 　求函数的定义域　　　　　　　　　自主练通 1．(2022·安徽江南十校模拟)函数y＝的定义域为(　　) A．(－1，3] B．(－1，0)∪(0，3] C．[－1，3] D．[－1，0)∪(0，3] B　解析：要使函数有意义，x需满足 解得－1<x<0或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]. 2．(2023·合肥模拟)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________． 答案：[－2，0]　解析：因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a≥0对x∈R恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋8a≤0，解得－2≤a≤0. 3．(2022·重庆巴蜀中学月考)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x－2)的定义域为________. 答案：　解析：∵f(x)的定义域为(－1，0)， ∴由－1<2x－2<0，解得<x<1. ∴函数f(2x－2)的定义域为. 　求函数的解析式　　　　　　　　　　讲练融通 求下列函数的解析式： (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 解：(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法)∵f＝x2＋＝－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴a＝2， 5a＋b＝17，解得 ∴f(x)＝2x＋7. (4)(方程组法)∵2f(x)＋f(