第二章 第三节 函数的奇偶性、对称性与周期性（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象 偶函数 如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数 关于坐标原点对称 2．函数的周期性 周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个x值时，x±T都有定义，并且f(x＋T)＝f(x)，则称这个函数f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期． 最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作它的最小正周期． 结论拓展 1．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； (2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 2．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 3．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 4.函数图象的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 夯基固本 1．判断正误 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(　　×　　) (2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　×　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　√　　) (4)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(　　√　　) 2．(多选)下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 答案：BC 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ B　解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝. 4．若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2－x，则f(2 024)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 B　解析：∵f(x)的周期为2，∴f(2 024)＝f(0)＝20＝1. 5．已知f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－ex＋1 D　解析：设x<0，则－x>0，因为函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1， 可得f(x)＝－f(－x)＝－(ex－1)＝－ex＋1. 故选D. 6．(忽视定义域致误)函数f(x)＝(x＋1)·是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案：非奇非偶　解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)，不关于原点对称．故f(x)为非奇非偶函数． 7．我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．则函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是________． 答案：(1，－2) 　函数的奇偶性　　　　　　　　　　　多维贯通 函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ (4)f(x)＝log2. 解：(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为， 从而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．