第二章 第二节 函数的单调性与最值（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．单调函数 增函数 减函数 定义 对于定义域I上任意两个值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，就称f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，就称f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是 下降的 2．单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． 3．函数的最值 (1)设函数y＝f(x)的定义域为D，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a).称M为f(x)的最大值．a为f(x)的最大值点． (2)设函数y＝f(x)的定义域为D，如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最小值M＝f(a).称M为f(x)的最小值．a为f(x)的最小值点． 最大值和最小值统称为最值． 结论拓展 1．单调性的几个结论 在公共定义域内： (1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数； (2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数； (3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数； (4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数； (5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (6)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．“对勾函数”y＝x＋(a>0) 的单调性 “对勾函数”y＝x＋(a>0) 的增区间为，；单调减区间是，. 3．函数最值的结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． 夯基固本 1．判断正误 (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　×　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　×　　) (3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　×　　) (4)所有的单调函数都有最值．(　　×　　) 2．(多选)下列函数在R上是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　　　　 B．f(x)＝x＋2 C．f(x)＝ D．f(x)＝ BD　解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝x＋2在R上是增函数；函数f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数；函数f(x)＝＝x是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数．故选BD. 3．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________． 答案：[－1，1]和[5，7] 4．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0 成立，则必有(　　) A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增 A　解析：由>0 知f(a)－f(b)与a－b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数．故选A. 5．已知f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为(　　) A．3 B．1 C．2 D．4 C　解析：易知函数f(x)在[2，6]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝＝2. 6．(忽视定义域致误)函数f(x)＝log(6x2＋x－1) 的单调递增区间为________． 答案：　解析：由6x2＋x－1>0 得f(x)的定义域为，由复合函数单调性知f(x)的单调递增区间即y＝6x2＋x－1 的单调递减区间(定义域内)，所以f(x) 的单调递增区间为. 　求函数的单调区间　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·河南南阳模拟)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　) A．[1，2]　　　　　　　　 B．[－1，0] C．(0，2] D．[2，＋∞) A　解析：由题意得，f(x)＝当x≥2时，函数f(x)的单调递增区间是[2，＋∞)；当x＜2时，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]，函数f